[논문 리뷰] An existence result for Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions

Thomas Hudson|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 58인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 슬립 분포를 사용하여 곡선 디스locations에 대한 정규화된 에너지를 정식화하고 내부 변형을 통한 페치–쿠엘러 힘을 유도함으로써, 3차원 이산 디스클로케이션 역학(DDD)에 대해 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 수립한다. 이는 무한한 디스클로케이션 선 밀도 형성 시점까지 소산적 진화 법칙의 존재성과 정칙성을 증명하는 데 성공한다. 이는 이산 시간 그래เดียน트 플로우 스킴을 사용한다.

ABSTRACT

We present a mathematical framework within which Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions is well-posed. By considering smooth distributions of slip, we derive a regularised energy for curved dislocations, and rigorously derive the Peach-Koehler force on the dislocation network via an inner variation. We propose a dissipative evolution law which is cast as a generalised gradient flow, and using a discrete-in-time approximation scheme, existence and regularity results are obtained for the evolution, up until the first time at which an infinite density of dislocation lines forms.

연구 동기 및 목표

• 3차원 DDD에 대한 명확한 이론적 기반의 부족을 해결하고, 3차원에서 잘 정의된 수학적 공식화를 수립한다.
• 스lip 표면의 매끄러운 슬립 분포를 기반으로 한 정규화된 에너지를 구성함으로써, 응력, 변형률 및 에너지 밀도 필드가 비특이적이 되도록 보장한다.
• 정규화된 에너지의 내부 변형을 통해 디스클로케이션 네트워크에 작용하는 페치–쿠엘러 힘을 도출함으로써 물리적 일관성을 확보한다.
• 에너지 감소와 물리적 현실성을 보장하는 일반화된 그래디언트 플로우로 표현된 소산적 진화 법칙을 제안한다.
• 무한한 디스클로케이션 선 밀도 형성 시점까지 DDD 진화 문제의 해의 존재성과 정칙성을 증명한다.

제안 방법

• 스립 경계의 위상적 및 운동학적 조건을 만족시키기 위해 디스클로케이션을 닫힌 1-현재(oriented Lipschitz 곡선)로 모델링한다.
• 디스클로케이션 선 경계에만 의존하는 이중 적분 형태의 정규화된 내부 에너지를 구성함으로써 비특이적 필드를 보장한다.
• 푸리에 분석과 Mura의 프레임워크를 사용하여 탄성 그린 함수의 명시적 지식 없이도 계산 가능한 적분 커널을 도출한다.
• 디스클로케이션 위치에 대한 에너지 함수의 내부 변형을 통해 페치–쿠엘러 힘을 도출함으로써 물리적으로 일관된 추진력 표현을 확보한다.
• 적절한 힐베르트 공간에서 일반화된 그래디언트 플로우로 소산적 진화 법칙을 공식화함으로써 에너지 소산을 보장한다.
• 그래디언트 플로우에 이산 시간 근사 스킴을 적용하여, 폭발 시간까지 해의 존재성과 정칙성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비특이적 응력 및 에너지 필드를 보장하는 3차원 이산 디스클로케이션 역학의 수학적으로 잘 정의된 공식화가 가능할 수 있는가?
• RQ2 곡선 디스클로케이션 네트워크에 작용하는 페치–쿠엘러 힘은 정규화된 에너지 함수에서 어떻게 엄밀하게 도출될 수 있는가?
• RQ3 에너지 감소와 물리적 일관성을 보장하는 디스클로케이션 운동에 적합한 소산적 진화 법칙은 무엇인가?
• RQ4 무한한 디스클로케이션 선 밀도 형성 시점까지 DDD 진화 문제의 해의 존재성과 정칙성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 명시적인 그린 함수가 필요 없이 계산 가능한 적분 커널을 제공함으로써 이 이론은 실용적 DDD 시뮬레이션과 어떻게 계산 가능하게 하고 호환성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 디스클로케이션 선(즉, 슬립 표면의 경계)에만 의존하는 정규화된 에너지 함수가 도출되었으며, 이는 비특이적 응력 및 에너지 필드를 보장한다.
• 에너지의 내부 변형을 통한 페치–쿠엘러 힘의 엄밀한 도출을 통해 디스클로케이션 네트워크에 작용하는 추진력에 대한 수학적으로 타당한 표현이 확보되었다.
• 진화 법칙은 일반화된 그래디언트 플로우로 공식화되어 내부 에너지가 시간이 지남에 따라 소산됨을 보장한다.
• 이산 시간 근사 스킴을 사용하여 DDD 진화 문제의 해의 존재성과 정칙성이 증명되었다.
• 해는 무한한 디스클로케이션 선 밀도 형성 시점까지 존재하며, 이는 시스템의 자연스러운 폭발 시간으로 간주된다.
• 이 이론은 일반적인 선형 탄성 물질, 포함하여 비등방성 물질에도 적용 가능하며, 명시적 그린 함수가 필요 없이 계산 가능한 적분 커널을 제공한다.