[논문 리뷰] An exotic Springer correspondence for symplectic groups

Syu Kato|ArXiv.org|2006. 07. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$의 심플렉틱 군에 대해 표준 nilpotent cone이 아닌 기하적 대상인 '기묘한 nilpotent cone' $\mathfrak{N}$을 통해 기묘한 Springer 대응을 수립한다. 이 $G$-variety $\mathfrak{N}$는 $G$-궤도와 $C_n$형 타입의 웨일 군의 기약 표현 사이의 일대일 대응을 매개한다. 주요 결과는 $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도와 $\mathsf{Irr}W$ 사이의 일대일 대응으로, 고전적 Springer 대응을 일반화하고 $C$형에 대한 Deligne-Langlands 대응을 확장한다.

ABSTRACT

This paper is a sequel to math.RT/0601155. Let G be a complex symplectic group. In math.RT/0601155, we constructed a certain G-variety N = N_1, which we call the (1-) exotic nilpotent cone. In this paper, we study the set of G-orbits of the variety N. It turns out that the variety N gives a variant of the Springer correspondence for the Weyl group of type C, but shares a similar flavor with that of type A case. (I.e. there appears no non-trivial local system and the correspondence is bijective.) As an application, we present one sufficient condition for the bijectivity of our exotic Deligne-Langlands correspondence [K1].

연구 동기 및 목표

• 기본 표현 $V_1 = \mathbb{C}^{2n}$ 과 $V_2 = \wedge^2 V_1 / \mathbb{C}$를 포함하는 $G$-모듈 $\mathbb{V} = V_1 \oplus V_2$ 에서 유도되는 $G$-variety로서 기묘한 nilpotent cone $\mathfrak{N}$을 정의하고 연구한다.
• $G$-궤도와 $C_n$형 타입의 웨일 군 $W$의 기약 표현 사이의 기하적 대응을 수립한다.
• 충분한 조건 하에서 기묘한 Deligne-Langlands 대응의 이중성(비례성)을 보여줌으로써 $C_n$형에 대한 기하적 실현을 제공한다.
• Grinberg의 일반화된 Springer 대응을 확장하기 위해, $\mathfrak{N}$ 위의 섬유 성분의 Borel-Moore 호모로지에 $W$-모듈러 구조를 수립한다.

제안 방법

• $F = G \times^B \mathbb{V}^+$ 이며 $\mathbb{V}^+$ 는 $\mathbb{V}$ 의 양의 가중치 부분공간일 때, $\mu: F \to \mathbb{V}$ 의 이미지로 $\mathfrak{N}$ 을 구성한다.
• $\mathbb{V}$ 에서의 $G \times (\mathbb{C}^\times)^2$-작용을 $\mathfrak{N}$ 으로 내림내림시켜, 정규성 및 비에르미트성 등의 기하적 성질을 확보한다.
• $X \in \mathbb{O}$ 에 대해 $M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$ 를 정의하고, Ginzburg 이론을 통해 $W$-모듈러로 장비한다.
• $\mathcal{MP}(n)$ 과 $\mathcal{SP}(n)$ 을 중간 집합으로 사용하여, $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도와 $\mathcal{P}_2(n)$, 즉 합이 $n$ 인 순서쌍의 분할 집합 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• Igusa의 결과를 통한 안정자군의 연결성과 수치적 항등식 $|\mathcal{MP}(n)| = |\mathsf{Irr}W|$ 를 이용해 궤도-표현 대응의 단사성을 증명한다.
• 두 매개변수를 가진 $B_n$형의 확장된 아핀 허케 대수 이론을 적용하여, 기묘한 Deligne-Langlands 대응의 정규 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 nilpotent cone 이외의 기하적 대상인 기묘한 nilpotent cone 을 통해 심플렉틱 군에 대한 Springer 대응의 변종을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 기묘한 nilpotent cone $\mathfrak{N}$ 내의 $G$-궤도의 구조는 어떠한가? 그리고 분할의 순서쌍과 같은 조합론적 자료와는 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O}$ 의 할당이 $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도와 웨일 군 $W$ 의 기약 표현 사이의 일대일 대응을 유도하는가?
• RQ4 기묘한 Deligne-Langlands 대응이 이중성(비례성)을 가지기 위한 조건은 무엇이며, 이는 $\mathfrak{N}$ 의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 기묘한 Springer 대응은 국소 시스템을 포함하는 완전한 대응으로 확장될 수 있는가, 아니면 $A$형과 마찬가지로 자연스럽게 비자명한 국소 시스템을 피하는가?

주요 결과

• $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도의 집합은 합이 $n$ 인 순서쌍의 분할 집합인 $\mathcal{P}_2(n)$ 과 일대일 대응된다.
• $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$ 는 $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도와 $C_n$형 타입의 웨일 군의 기약 표현 집합 $\mathsf{Irr}W$ 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• $\mathfrak{N}$ 은 정규이며, $\mu: F \to \mathfrak{N}$ 는 특이점의 비에르미트적 분해이다.
• $\mathfrak{N}$ 의 정의 아이디얼은 $\mathbb{C}[\mathbb{V}]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$ 에 의해 생성되며, 특히 $\mathbb{C}[V_2]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$ 이다. 이는 그들의 불변량 기반 구성임을 보여준다.
• $\mathfrak{N}$ 내 $G$-궤도의 안정자군은 연결되어 있으며, 이는 궤도-표현 대응의 단사성 증명에 필수적이다.
• 매개변수 $(-q_1, q_1, q_2)$ 를 가진 $B_n$형 확장된 아핀 허케 대수에 대해, $-q_1^2 \neq q_2^{\pm m}$ 이고 $q_2^l \neq 1$ 이며 $0 \leq m < n$ 이고 $1 \leq l < 2n$ 일 때, 기묘한 Deligne-Langlands 대응의 정규 조건은 자동으로 성립한다.