[논문 리뷰] An expansion in the model space in the context of utility maximization

Kasper Larsen, Oleksii Mostovyi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비완전한 연속 세미마르코프 모델에서 시장 리스크 가격 과정의 변동에 대한 파wr 투자자의 가치 함수의 2차 테일러 전개를 개발한다. 볼록 쌍대성과 무한차원의 변동 분석을 활용하여, 정확한 해가 존재하지 않을 경우에도 정확한 수치 계산이 가능한, 원래 및 쌍대 최적 제어에 대한 명시적 1차 근사값을 도출한다. 이는 킴-옴버그 및 확장된 아핀 모델을 포함한 두 가지 캘리브레이션된 수치 예제를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

In the framework of an incomplete financial market where the stock price dynamics are modeled by a continuous semimartingale, an explicit first-order expansion formula for the power investor’s value function - seen as a function of the underlying market price of risk process - is provided and its second-order error is quantified. Two specific calibrated numerical examples illustrating the accuracy of the method are also given.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 가격 과정을 갖는 비완전 금융 시장에서 가치 함수와 최적 전략을 수치적으로 계산하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 정확한 해가 존재하지 않을 경우, 특히 비-마르코프 및 비-아핀 설정에서 효용 극대화를 위한 계산 가능한 근사 방법을 개발하기.
• 시장 리스크 가격 과정의 변동에 대한 가치 함수의 안정성 분석을 수행하여 가장 민감한 특징들을 규명하기.
• 모델 공간에서의 2차 전개를 이용해 원래 및 쌍대 최적 투자 전략에 대한 명시적 1차 근사값을 구성하기.
• 키퍼-옴버그 및 확장된 아핀 모델을 포함한 수치 예제를 통해 방법의 정확성을 검증하기 — 여기서는 닫힌 형태의 해가 존재하지 않는다.

제안 방법

• 기본 모델(해가 알려진 모델)을 기준으로 가치 함수의 2차 테일러 전개를 수행하며, 시장 리스크 가격 과정을 전개 매개변수로 간주한다.
• 볼록 쌍대성을 적용하여 원래 및 쌍대 최적화 문제를 동시에 분석하고, 오차를 통제하기 위해 경계를 사용한다.
• 마팅게일 표현 정리와 헬더 부등식을 사용하여 변동에 의한 쌍대 제어의 적분 가능성과 수렴성을 확보한다.
• 1차 최적 원래 제어를 ˆπ(0) + ελ′/(1−p) 및 쌍대 제어를 ˆν(0)로 구성하며, 여기서 λ′은 시장 리스크 가격의 변동이다.
• 통합 변동성과 시간이 변화하는 과정에 대한 지수 모멘트 조건을 사용하여 전개의 타당성을 위한 충분조건을 설정한다.
• 에일러 이산화를 사용한 몬테카를로 시뮬레이션을 구현하여 확정성 등가 및 신뢰구간을 계산하고, 근사값과 정확한 값을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 형태의 해가 존재하지 않을 경우, 일반적인 비완전 시장에서 연속 세미마르코프 가격 과정을 갖는 가치 함수는 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 시장 리스크 가격 과정이 변동할 경우, 최적 원래 및 쌍대 제어의 1차 근사는 무엇인가?
• RQ3 2차 전개 방법이 킴-옴버그 및 확장된 아핀 과정과 같은 모델에서 확정성 등가와 최적 투자 전략을 추정하는 데 얼마나 정확한가?
• RQ4 시장 리스크 가격 과정의 어떤 특징이 효용 극대화 해에 가장 크게 영향을 미치며, 통계적 추정에서 우선순위를 정할 수 있는가?
• RQ5 제안된 가치 함수 경계는 몬테카를로 추정치와 비교해 보았을 때, 얼마나 날카롭고 신뢰할 수 있는가?

주요 결과

• 키퍼-옴버그 모델에서, 확정성 등가의 2차 근사는 모든 테스트된 ε 값에서 오차가 0.001 이내로 매우 정확하며, 95% 신뢰구간이 정확한 값에 좁게 둘러싸여 있다.
• 확장된 아핀 모델에서는 2차 근사가 0차 및 1차 근사보다 뚜렷이 뛰어나며, 특히 ε = 0.10일 경우 기준 모델 최적화기의 성능이 100% 이상 떨어지는 것으로 나타났다.
• 확정성 등가의 하한 및 상한 경계는 항상 날카롭게 유지되며, 중간 정도의 ε 값에서 95% 신뢰구간의 폭이 0.01 이내로 유지되어 근사의 높은 신뢰성을 보여준다.
• -0.10의 ε 값에 대해서도 이 방법은 여전히 유효하고 정확하며, 상한선이 진짜 값과 0.015 이내로 포함되어 있어 큰 변동에 대한 강건성을 입증한다.
• 2차 최적 제어 ˜π = ˆπ(0) + ελ′/(1−p) 및 ˜ν = ˆν(0)는 명시적으로 정의되어 있으며, 기준 모델 최적화기 ˆπ(0)보다 훨씬 뛰어난 성능을 보임을 입증했다.
• 이 방법은 가치 함수가 무한급수로만 알려진, 닫힌 형태의 해가 없는 모델(예: 확장된 아핀 모델)에도 적용 가능하며, 이 경우에도 근사가 매우 정확하다.