[논문 리뷰] An explicit construction of the Quillen homotopical category of dg Lie algebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|2007. 06. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 미분가환(dg) 리 대수의 퀼렌 호모토판 카테고리에 대한 명시적 구성법을 제공한다. 이는 마우러-카르탕 방정식의 해 위에서 게이지 작용을 통해 호모토피를 정의함으로써 이루어지며, 이에 따라 dg 리 대수의 게이지 호모토피 관계에 대한 몫 카테고리가 준위사상에 대한 퀼렌-힌히치 국소화와 동치임을 증명한다. 또한, 퀄렌의 추상적 호모토피 개념이 이 명시적 구성과 일치함을 확인한다.

ABSTRACT

Let $\g_1$ and $\g_2$ be two dg Lie algebras, then it is well-known that the $L_\infty$ morphisms from $\g_1$ to $\g_2$ are in 1-1 correspondence to the solutions of the Maurer-Cartan equation in some dg Lie algebra $\Bbbk(\g_1,\g_2)$. Then the gauge action by exponents of the zero degree component $\Bbbk(\g_1,\g_2)^0$ on $MC\subset\Bbbk(\g_1,\g_2)^1$ gives an explicit "homotopy relation" between two $L_\infty$ morphisms. We prove that the quotient category by this relation (that is, the category whose objects are $L_\infty$ algebras and morphisms are $L_\infty$ morphisms modulo the gauge relation) is well-defined, and is a localization of the category of dg Lie algebras and dg Lie maps by quasi-isomorphisms. As localization is unique up to an equivalence, it is equivalent to the Quillen-Hinich homotopical category of dg Lie algebras [Q1,2], [H1,2]. Moreover, we prove that the Quillen's concept of a homotopy coincides with ours. The last result was conjectured by V.Dolgushev [D].

연구 동기 및 목표

• dg 리 대수의 $L_∞$ 호모토피 사상에 대한 명시적이고 계산 가능한 호모토피 정의를 제공한다.
• 게이지 동치 관계에 대한 몫 카테고리인 $L_∞$ 사상 카테고리가 퀄렌-힌히치 호모토판 카테고리와 동치임을 보인다.
• 퀄렌의 추상적 호모토피 개념이 명시적 게이지 이론적 구성과 일치함을 확립한다.
• 이 구성법을 코즐 유도자(Koszul operad) 위의 dg 모듈로 일반화하여 적용 범위를 확장한다.

제안 방법

• dg 리 대수 $\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$ 를 정의하여, 그 마우러-카르탕 해가 $\mathfrak{g}_1$ 에서 $\mathfrak{g}_2$ 로의 $L_\infty$ 사상들을 매개변수화하도록 한다.
• $\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^0$ 의 게이지 작용을 $MC\subset\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^1$ 에 적용하여, $L_\infty$ 사상 간의 명시적 호모토피 관계를 정의한다.
• dg 리 대수의 카테고리 내에서 오른쪽 실린더 객체 $\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ 를 구성하여, 길 잇는 맵을 통한 호모토피의 기하적 실현을 달성한다.
• 초기 조건 $U_0$ 를 갖는 시간에 의존하는 마우러-카르탕 방정식의 해를 사용하여 $L_\infty$ 사상 $U_{\mathrm{Cyl}}:\mathfrak{g}_1\to\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ 를 정의한다.
• $p_0, p_1:\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)\to\mathfrak{g}_2$ 의 사영이 관련 다이어그램을 가로질러 지워지도록 확인하여, $U_{\mathrm{Cyl}}$ 가 호모토피를 유도함을 보장한다.
• 결과로 얻어진 몫 카테고리가 준위사상에 대한 국소화임을 증명하여, 이는 퀄렌-힌히치 카테고리와 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 dg 리 대수의 퀄렌 호모토판 카테고리가 게이지 이론적 호모토피를 통해 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 게이지 동치에 대한 몫 카테고리가 준위사상에 대한 국소화를 제공하는가?
• RQ3 퀄렌의 추상적 호모토피 개념이 마우러-카르탕 해 위의 명시적 게이지 작용과 일치하는가?
• RQ4 이 구성법을 코즐 유도자 위의 dg 모듈로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 게이지 동치 관계에 대한 몫 카테고리인 dg 리 대수의 $L_\infty$ 사상 카테고리는 잘 정의되어 있으며, 원래 카테고리와 동일한 대상을 가진 카테고리로 구성된다.
• 이 몫 카테고리는 퀄렌-힌히치 호모토판 카테고리와 동치이며, 즉 준위사상에 대한 국소화이다.
• 마우러-카르탕 해 위의 게이지 작용은 dg 리 대수 설정에서 퀄렌의 호모토피 관계를 완전히 명시적으로 실현한다.
• 시간에 의존하는 마우러-카르탕 방정식의 해를 통한 오른쪽 실린더 객체 $\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ 의 구성은 호모토피의 기하적 실현을 가능하게 한다.
• 해 $F(t) = \exp(ad(tH))(F(0)) + f(tH)(d_{\Bbbk}H)$ 는 시간에 의존하는 마우러-카르탕 방정식을 만족하며, 이는 $U_{\mathrm{Cyl}}$ 이 $L_\infty$ 사상임을 보장한다.
• $p_0$, $p_1$, $U_{\mathrm{Cyl}}$ 이 포함된 다이어그램의 가로질러짐은 $U_{\mathrm{Cyl}}$ 이 $U_0$ 에서 $U_1$ 으로의 호모토피를 유도함을 확인한다.