[논문 리뷰] An Explicit Example Of Optimal Portfolio-Consumption Choices With Habit Formation And Partial Observations

Xiang Yu|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 칼만-부시 필터링과 동적 프로그래밍을 이용하여 습관 형성과 부분 관찰 조건 하에서 최적의 포트폴리오-소비 문제에 대한 명시적 해를 제공한다. 확산 시장에서 비관측된 평균 수익률을 가정할 때, 투자와 소비에 대한 닫힌 형태의 피드백 전략을 유도하며, 전체 정보보다 부분 정보 조건에서 경로에 의존하는 제어 문제의 해가 더 단순해짐을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a model of optimal investment and consumption with both habit formation and partial observations in incomplete Itô processes market. The investor chooses his consumption under the addictive habits constraint while only observing the market stock prices but not the instantaneous rate of return. Applying the Kalman-Bucy filtering theorem and the Dynamic Programming arguments, we solve the associated Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation explicitly for the path dependent stochastic control problem in the case of power utilities. We provide the optimal investment and consumption policies in explicit feedback forms using rigorous verification arguments.

연구 동기 및 목표

• 현재 효용이 과거 소비 수준에 의존하는 중독성 습관 형성 조건 하에서 최적의 투자와 소비를 모델링하기 위해.
• 투자자가 주식 가격은 관찰할 수 있으나, 위험 자산의 비관측 순간 평균 수익률을 알 수 없는 현실적인 제약 조건을 다루기 위해.
• 부분 정보 하에서 발생하는 경로에 의존하는 확률적 제어 문제를 명시적으로 해결하여 동적 프로그래밍 원리에 의존하지 않도록 하기 위해.
• 부분 관찰 조건이 전체 정보 설정보다 해 구조를 더 단순하게 만든다는 것을 보여주기 위해.
• 검증 정리(verification theorem)를 통해 유도된 최적 정책의 피드백 형태에 대한 엄밀한 검증을 제공하기 위해.

제안 방법

• 주식 가격과 비관측 평균 수익률을 상관된 Itô 과정으로 모델링하며, 평균 수익률은 옴스타인-울렌벡 과정을 따른다.
• 관측된 주식 가격을 바탕으로 비관측 평균 수익률을 추정하기 위해 칼만-부시 필터링 정리를 적용한다.
• 파워 효용 함수와 부분 정보 조건 하에서 가치 함수에 대한 헤이밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 수립한다.
• 가정 방법을 통해 상수 계수를 가진 보조 상미분방정식으로 HJB 방정식을 분리한다.
• 검증 정리를 사용하여 후보 피드백 제어가 최적임을 엄밀히 확인한다.
• 네 가지의 서로 다른 매개수 영역(쌍곡선, 다항식, 탄젠트, 임계 경우)에서 발생하는 상미분방정식의 해를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투자자가 위험 자산의 진정한 평균 수익률을 관찰할 수 없는 조건에서 습관 형성이 최적의 소비와 투자에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 습관 형성 조건이 있는 부분 정보 설정에서 최적 정책의 명시적 피드백 형태를 도출할 수 있는가?
• RQ3 이러한 경로에 의존하는 제어 문제에서 왜 부분 관찰 설정이 전체 정보 설정보다 더 단순한 해를 제공하는가?
• RQ4 다양한 매개수 영역(예: 쌍곡선 대 다항식 대 탄젠트 해) 간 최적 전략의 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ5 동적 프로그래밍 원리의 증명 없이도 검증 정리를 직접 적용하여 최적성의 타당성을 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 최적의 소비 정책은 필터링된 평균 수익률과 현재 습관 수준의 피드백 함수로 명시적으로 표현되며, 투자 기간에 따라 변하는 조정 요소를 포함한다.
• 최적의 포트폴리오 웨이트는 필터링된 평균 수익률과 잔여 기간에 대한 선형 피드백 구조를 사용하여 닫힌 형태로 유도된다.
• 매개수 설정에 따라 네 가지의 서로 다른 해 유형—쌍곡선, 다항식, 탄젠트, 임계 경우—이 도출되며, 각각 다른 정성적 행동(유계 또는 폭발)을 보인다.
• 쌍곡선 해는 γ₂ < 0일 때 유계이며, 다항식 해는 λ, p, ρ, σ_S, σ_μ에 대한 특정 조건을 만족할 경우에만 유계이다.
• 탄젠트 해는 폭발적이며, 판별식 Δ < 0일 때 존재하며, 해가 발산하는 임계 시간점이 존재한다.
• 검증 정리는 동적 프로그래밍 원리의 전체 증명 없이도 도출된 정책의 최적성을 확인한다.