[논문 리뷰] An explicit solution of a non-linear quadratic constrained stochastic control problem with an application to optimal liquidation in dark pools with adverse selection

Peter Kratz|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 점프와 절대값 비용 성분을 포함하는 비선형 이차 확률 제어 문제에 대해 상태에 의존하는 다항식 가설을 사용하여 해밀턴-자코비-벨리만 편미분방정식을 해결 가능한 상미분방정식계로 감소시켜 닫힌 형식의 해를 제시한다. 주요 기여는 시간에 따라 변하는 경계에서 부드러운 맞춤 조건을 만족하는 조각다항식 형태의 가치함수를 확보하는 검증 정리이다. 이는 악성 선택이 존재하는 다크풀에서의 명시적 최적 청산 전략을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study a constrained stochastic control problem with jumps; the jump times of the controlled process are given by a Poisson process. The cost functional comprises quadratic components for an absolutely continuous control and the controlled process and an absolute value component for the control of the jump size of the process. We characterize the value function by a "polynomial" of degree two whose coefficients depend on the state of the system; these coefficients are given by a coupled system of ODEs. The problem hence reduces from solving the Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation (i.e., a PDE) to solving an ODE whose solution is available in closed form. The state space is separated by a time dependent boundary into a continuation region where the optimal jump size of the controlled process is positive and a stopping region where it is zero. We apply the optimization problem to a problem faced by investors in the financial market who have to liquidate a position in a risky asset and have access to a dark pool with adverse selection.

연구 동기 및 목표

• 점프 동역학과 혼합된 이차 및 절대값 비용 성분을 포함하는 비선형 이차 제약 확률 제어 문제를 해결하기.
• 최종 상태 제약 조건 하에서 가치함수와 최적 제어의 닫힌 형식 해를 유도하기.
• 악성 선택이 증가시키는 실행 위험을 고려한 다크풀에서의 최적 청산을 모델링하기.
• 최종 시간에서 가치함수가 특이성을 띠더라도 가치함수의 구조를 고려하여 검증 정리를 수립하기.
• 최적 제어를 상태에 의존하는 정책으로 특성화하며, 계속 영역과 정지 영역을 시간에 따라 변하는 경계로 분리하기.

제안 방법

• 가치함수에 대해 상태에 의존하는 다항식 가설을 제안: $ v(T,x) = C_1(T,x)x^2 + C_2(T,x)x + C_3(T,x) $, 여기서 계수는 시간과 상태에 따라 달라진다.
• 해밀턴-자코비-벨리만 편미분방정식을 $ C_1, C_2, C_3 $에 대한 결합된 상미분방정식계로 감소시키며, 이는 닫힌 형식으로 해결 가능하다.
• 계속 영역($ |x| > \beta(t) $)에서 점프 제어 $ \eta^* \neq 0 $이고 정지 영역($ |x| \leq \beta(t) $)에서 $ \eta^* = 0 $인 시간에 따라 변하는 경계 $ \beta(t) $를 정의한다.
• 중간 상태 $ \beta(t) < |x| < \tilde{\beta}(t) $에 대해 암묵적 보간 함수를 사용하며, 이는 명시적으로 알려진 단사 함수의 역함수로 유도된다.
• 경계 $ \beta(t) $에서 부드러운 맞춤 조건을 확립하여 $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $가 경계를 넘어서도 연속적으로 미분 가능하도록 보장한다.
• 가능한 해를 검증하기 위해 검증 정리를 수립하며, 이는 가치함수와 제어의 닫힌 형식 구조를 활용하여 최종 시간에서의 특이성을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 절대값 항에 의해 비연속성이 유도되는 비선형 확률 제어 문제에 대해, 이차 및 절대값 비용 성분을 동시에 포함하더라도 닫힌 형식의 해를 구할 수 있는가?
• RQ2 제어 가능한 점프 크기를 가진 포아송 점프 과정이 최적 제어 정책의 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 최종 제약 조건 $ \lim_{t\to T^-} X^u(t) = 0 $이 가치함수와 제어 정책의 형태에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 가치함수가 최종 시간에서 두 번 연속 미분 가능하지 않은 경우에도 검증 정리를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 악성 선택이 존재하는 다크풀에서 최적 청산 전략의 기하학적 및 동적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 가치함수는 조각다항식 형태이다: 작은 상태와 큰 상태에서는 이차함수이며, 중간 상태는 단사 함수의 역함수를 통해 암묵적으로 보간된다.
• 최적 제어 정책은 시간에 따라 변하는 경계 $ \beta(t) $를 특징으로 하며, 계속 영역에서는 $ \eta^* \neq 0 $이고 정지 영역에서는 $ \eta^* = 0 $이다.
• 최적 거래 강도 $ \xi^* $는 경계 $ |x| = \frac{\Gamma}{2\lambda}(T-t) $에서 연속적이지만 미분 가능하지 않으며, 전략에 구부러진 형태가 있음을 나타낸다.
• 악성 선택이 없는 리스크 중립적 청산의 경우 최적 전략은 일정하다; 다크풀 실행을 포함하면 속도가 느려지며, 경계를 초과하지 않는 오목한 궤적을 형성한다.
• 경계 $ \beta(t) $는 $ \alpha $가 증가할수록 감소하며, 이는 제어된 과정에 대한 보다 높은 페널티를 반영하여 보수적인 청산 전략을 이끈다.
• 가치함수와 제어의 닫힌 형식 구조 덕분에 검증 정리가 성립하며, 이는 가치함수가 비연속성으로 인해 최종 시간에서 특이성을 띠는 문제를 해결한다.