[논문 리뷰] An Exponential Separation Between Randomized and Deterministic Complexity in the LOCAL Model

Yi‐Jun Chang, Tsvi Kopelowitz외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 26.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 25인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 Δ ≥ 55일 때, 무작위 알고리즘과 결정론적 알고리즘 간에 지수적 분리가 존재함을 증명함으로써 로컬 모델에서의 무작위화와 결정론적 알고리즘 간의 분리를 확립한다. 이는 무작위화를 사용할 경우 트리의 Δ-색칠이 Θ(logΔ log n) 라운드 내에 가능하지만, 결정론적으로는 Θ(logΔ n) 라운드가 필요하다는 것을 의미한다. 이 결과는 대칭성 깨기 문제에서 무작위성이 초지수적 속도 향상을 제공함을 보여주며, 부분 다항식 랜덤화 복잡도를 달성하기 위해 그래프 분쇄 기법이 필수적임을 시사한다.

ABSTRACT

Over the past 30 years numerous algorithms have been designed for symmetry breaking problems in the LOCAL model, such as maximal matching, MIS, vertex coloring, and edge-coloring. For most problems the best randomized algorithm is at least exponentially faster than the best deterministic algorithm. In this paper we prove that these exponential gaps are necessary and establish connections between the deterministic and randomized complexities in the LOCAL model. Each result has a very compelling take-away message: 1. Fast $Δ$-coloring of trees requires random bits: Building on the recent lower bounds of Brandt et al., we prove that the randomized complexity of $Δ$-coloring a tree with maximum degree $Δ\ge 55$ is $Θ(\log_Δ\log n)$, whereas its deterministic complexity is $Θ(\log_Δn)$ for any $Δ\ge 3$. This also establishes a large separation between the deterministic complexity of $Δ$-coloring and $(Δ+1)$-coloring trees. 2. Randomized lower bounds imply deterministic lower bounds: We prove that any deterministic algorithm for a natural class of problems that runs in $O(1)+o(\log_Δn)$ rounds can be transformed to run in $O(\log^*n-\log^*Δ+1)$ rounds. If the transformed algorithm violates a lower bound (even allowing randomization), then one can conclude that the problem requires $Ω(\log_Δn)$ time deterministically. 3. Deterministic lower bounds imply randomized lower bounds: We prove that the randomized complexity of any natural problem on instances of size $n$ is at least its deterministic complexity on instances of size $\sqrt{\log n}$. This shows that a deterministic $Ω(\log_Δn)$ lower bound for any problem implies a randomized $Ω(\log_Δ\log n)$ lower bound. It also illustrates that the graph shattering technique is absolutely essential to the LOCAL model.

연구 동기 및 목표

• 로컬 모델에서 대칭성 깨기 문제에 대해 무작위성이 초지수적 속도 향상을 제공하는지 여부에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결하기 위해.
• 랜덤화 및 결정론적 복잡도 간의 지수적 간극이 필수적임을 공식적으로 입증하기 위해.
• 랜덤화 하한이 결정론적 하한을 유도할 수 있으며, 반대로 결정론적 하한이 랜덤화 하한을 유도할 수 있음을 증명하여 두 복잡도 클래스 간의 깊은 구조적 연결 고리를 드러내기 위해.
• 로컬 모델에서 빠른 랜덤화 알고리즘을 달성하기 위해 그래프 분쇄 기법이 필수적임을 보여주기 위해.
• Δ ≥ 55일 때, 트리의 Δ-색칠이 랜덤화 설정에서는 결정론적 설정보다 지수적으로 빠르게 수행됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자들은 세 단계 알고리즘을 사용하여 트리의 랜덤화 복잡도를 분석한다: (1) 국소 최소값과 최대 독립 집합(MIS)을 반복적으로 이용해 정점을 색칠하고, (2) 크기가 유한한 잔여 성분을 3색으로 칠하기 위해 정리 9를 적용하고, (3) 또 다른 MIS 적용을 통해 색칠을 완료한다.
• 확률적 추론과 체르노프 불등식을 사용하여, 정확히 세 개의 색칠되지 않은 이웃을 가진 미색칠 정점들이 높은 확률로 작은 연결 성분을 이룸을 보인다.
• 거리 3인 크기 t의 집합이 잔여 집합 S에 완전히 포함될 확률이 (1−ε)/(4Δ³)^t 이하임을 증명함으로써, 이러한 모든 집합에 대해 유니언 바운드를 적용한다.
• 레마 3을 적용하여 거리 3 집합의 수를 제한하고, 고확률 집중 추론을 사용하여 S가 높은 확률로 크기 O(log n)인 성분을 이룸을 보인다.
• √log n 크기의 그래프로의 감소를 통해, 더 작은 인스턴스에서의 결정론적 하한 Ω(logΔ n)으로부터 랜덤화 하한 Ω(logΔ log n)을 도출한다.
• 임의의 결정론적 O(1)+o(logΔ n)-라운드 알고리즘을 O(log*n − log*Δ + 1) 라운드로 변환할 수 있는 변환을 도입함으로써, 결정론적 하한을 랜덤화 하한으로부터 유도할 수 있음을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로컬 모델에서의 무작위화 및 결정론적 복잡도 간의 지수적 간극은 필수적인가, 아니면 결정론적 알고리즘이 결국 랜덤화 성능을 따라잡을 수 있는가?
• RQ2 로컬 모델에서 랜덤화 하한이 결정론적 하한을 유추할 수 있으며, 반대로 결정론적 하한이 랜덤화 하한을 유추할 수 있는가?
• RQ3 왜 그래프 분쇄 기법이 로컬 모델에서 빠른 랜덤화 알고리즘을 달성하는 데 필수적인가?
• RQ4 Δ ≥ 55일 때 트리의 Δ-색칠의 정확한 랜덤화 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 결정론적 복잡도 하한을 사용하여 비트리비얼한 랜덤화 하한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• Δ ≥ 55일 때, 트리의 Δ-색칠은 랜덤화 복잡도가 Θ(logΔ log n)이며, 이는 결정론적 복잡도 Θ(logΔ n)보다 지수적으로 작다.
• 임의의 문제의 랜덤화 복잡도는 크기가 √log n인 인스턴스에서 결정론적 복잡도 이상이어야 하며, 이는 결정론적 Ω(logΔ n) 하한이 랜덤화 Ω(logΔ log n) 하한을 유도함을 의미한다.
• 그래프 분쇄 기법은 증명적으로 필수적이다: 팬콘세리-스리니바산 알고리즘의 2^{O(√log n)}-라운드 복잡도를 향상시키기 위해서는, 최고의 랜덤화 알고리즘에서의 2^{O(√log log n)} 항을 향상시켜야 한다.
• O(1)+o(logΔ n) 라운드 내에 실행되는 자연스러운 문제 클래스에 대한 임의의 결정론적 알고리즘은 O(log*n − log*Δ + 1) 라운드로 변환될 수 있으며, 이는 랜덤화 하한으로부터 결정론적 하한을 도출할 수 있도록 한다.
• 1단계 이후 정확히 세 개의 색칠되지 않은 이웃을 가진 정점 집합은 높은 확률로 크기 O(log n)인 연결 성분을 이룸을 보여주며, 이는 2단계에서 효율적인 3색칠을 가능하게 한다.
• 거리 3인 크기 t의 집합이 잔여 집합 S에 완전히 포함될 확률은 최대 ((1−ε)/(4Δ³))^t 이며, 이는 t에 따라 지수적으로 감소하여 높은 확률로 작은 성분 크기를 보장한다.