[논문 리뷰] An exponentially convergent discretization for space-time fractional parabolic equations using $hp$-FEM

Jens Markus Melenk, Alexander Rieder|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 04.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캡투 시간 도함수와 스펙트럴 분수 라플라시안 연산자를 갖는 공간-시간 분수계 파라볼릭 방정식을 해결하기 위해 $hp$-유한요소법($hp$-FEM)과 싱크-적분을 결합한 방법을 제시한다. 이 방법은 모서리 근처에서 기하학적 메esh 조절과 리에즈-둔포르드 함수해석학을 활용하여, 초기 조건 불일치로 인한 시작 단계 특이성에도 불구하고 공간과 시간 양쪽에서 지수 수렴성을 달성한다.

ABSTRACT

We consider a space-time fractional parabolic problem. Combining a sinc-quadrature based method for discretizing the Riesz-Dunford integral with $hp$-FEM in space yields an exponentially convergent scheme for the initial boundary value problem with homogeneous right-hand side. For the inhomogeneous problem, an $hp$-quadrature scheme is implemented. We rigorously prove exponential convergence with focus on small times $t$, proving robustness with respect to startup singularities due to data incompatibilities.

연구 동기 및 목표

• 캡투 시간 도함수와 분수계 라플라시안 연산자를 갖는 공간-시간 분수계 파라볼릭 문제에 대해 강건하고 고차원 수치 해법을 개발하는 것.
• 분수계 확산 문제에서 초기 조건과 경계 조건 간의 불일치로 인해 발생하는 시작 단계 특이성 문제를 다루는 것.
• 비연속적인 초기 자료가 존재하더라도 $hp$-FEM과 싱크-적분을 활용하여 공간과 시간 모두에서 지수 수렴 속도를 달성하는 것.
• 기본적인 파라볼릭 사례를 초월하여 시간에 의존하는 분수계 문제에 대해 $hp$-FEM의 적용 범위를 확장하기 위해 함수해석학과 적분 기법을 활용하는 것.
• 초기 조건에 대한 추상적 가정 하에 더 약한 공간-시간 에너지 노름에서 수렴성이 강건하게 유지됨을 증명하여, 작은 시간에서의 시간 노름 붕괴 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 분수계 거듭제곱 연산자 $\mathcal{L}^\beta$ 를 경로 적분을 통해 표현하기 위해 리에즈-둔포르드 함수해석학을 사용한다.
• 경로 적분을 이산화하기 위해 싱크-적분을 적용하며, 지수 수렴성을 확보하기 위해 매개변수를 최적화한다.
• 영역의 모서리 쪽으로 기하학적 메쉬를 조절하여 특이성을 해결하는 $hp$-유한요소를 공간에 적용한다.
• 비동차 문제에 대해 $hp$-적분 기법을 도입하여 시간 방향에서 지수 수렴성을 보장한다.
• 이동된 문제 $(z_j - \mathcal{L})^{-1}$ 의 해를 재사용함으로써 선형 연립방정식 해법의 횟수를 최소화하기 위해 계산 순서를 재정렬한다.
• 유한요소 조립 및 $hp$-메쉬 생성을 위해 NGSolve 소프트웨어 패키지를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡투 도함수를 갖는 시간에 의존하는 공간-시간 분수계 파라볼릭 문제에 대해 $hp$-FEM과 싱크-적분을 조합한 방법이 지수 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이 방법은 초기 조건과 경계 자료 간의 불일치로 인한 시작 단계 특이성을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 작은 시간 $t>0$ 에서 시간 노름 붕괴가 수렴 추정치에 어떤 영향을 미치며, 이를 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 초기 자료에 대한 최소한의 가정 하에 더 약한 공간-시간 에너지 노름에서도 지수 수렴성이 유지되는가?
• RQ5 적분 매개변수 $k$ 와 $\mathcal{N}_{\textrm{q}}$ 의 선택이 수렴 속도와 강건성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 매끄러운 해를 갖는 수치 실험을 통해 $\mathcal{N}_\Omega$ 에 대한 $L^2(\Omega)$-노름에서 지수 수렴성이 확인되었다.
• 불일치 자료가 존재하는 경우에도 $\mathcal{N}_\Omega^{1/4}$ 에 대한 지수 수렴성이 관찰되어 특이성에 대해 강건함을 입증하였다.
• 싱크-적분 오차 추정치가 $t^{-\gamma}$ 에서 $t^{-\gamma/2}$ 로 향상되어 작은 시간에서의 안정성이 향상되었다.
• 효율적인 순서 재정렬 덕분에 $\mathcal{N}_{\textrm{q}}$ 번의 선형 연립방정식 해법으로만 요구되어 계산적으로 효율적이었다.
• 수치 결과는 정확한 해가 알려지지 않은 경우에도, 불일치 자료와 일치 자료 모두에서 지수 수렴성이 확인되었다.
• 다양한 종료 시간 $t=0.001$, $t=0.1$, $t=1$ 에서도 수렴 속도가 강건하였으며, 불일치 경우 오차는 $\mathcal{O}(e^{-0.7\mathcal{N}_\Omega^{1/4}})$ 로 감소하였다.