[논문 리뷰] An Extended Discontinuous Galerkin Method for High-Order Shock-Fitting

Markus Geisenhofer, Florian Kummer외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 16.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 48인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동에서 미세셀 정확도의 충격파 피팅을 위한 고차수 확장 불연속 갈레르킨(XDG) 방법을 제시한다. 수준집합 기반 충격 인터페이스와 국소 지표를 사용한 암시적 의사시간 스텝 절차를 통해 충격 위치를 반복적으로 보정한다. 1차원 정적 수직 충격파 시험 케이스에서 이 방법은 정확한 충격 위치에 수렴하며, P⁰-투영 지표는 항상 올바른 보정 방향을 제공한다.

ABSTRACT

We present a sub-cell accurate shock-fitting technique using a high-order extended discontinuous Galerkin (XDG) method, where a computational cell of the background grid is cut into two cut-cells at the shock position. Our technique makes use of a sharp interface description where the shock front is implicitly defined by means of the zero iso-contour of a level-set function. A novel implicit pseudo-time-stepping procedure is employed to correct the position of the shock front inside the cut background cell by using cell-local indicators, since the position and shape of shock waves are not known a priori for the general, multi-dimensional case. This iterative correction terminates if the shock front has converged to the exact position. The procedure is demonstrated for the test case of a one-dimensional stationary normal shock wave. Furthermore, the underlying sharp interface approach drastically reduces the complexity of the grid handling, since a simple Cartesian background grid can be employed.

연구 동기 및 목표

• 압축성 유동에서 고차수, 미세셀 정확도의 충격파 피팅 방법을 확장 불연속 갈레르킨(XDG) 이산화를 통해 개발한다.
• 다차원 유동에서 충격 위치와 형상이 알려져 있지 않은 문제에 대응하기 위해 반복적 보정 절차를 도입한다.
• 인위적 점성 방지와 고차수 수렴 유지로 전통적인 충격 포착 방법보다 정확도와 안정성을 향상시킨다.
• 수준집합 함수를 통한 날카운 인터페이스 표현을 통해 단순한 카르테시안 배경 격자를 사용할 수 있도록 한다.
• 셀 집합 기법과 국소 지표를 활용한 인터페이스 보정을 통해 복잡한 기하구조에서 고차수 충격파 피팅의 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 충격면은 카르테시안 배경 격자의 컷셀 내에서 수준집합 함수의 0 등고선으로 암시적으로 정의된다.
• 표준 암시적 오일러 스킴을 사용한 의사시간 스텝 절차를 통해 컷셀 내에서 충격 위치를 반복적으로 보정한다.
• 국소 지표—밀도 장의 P⁰-투영, 수직 충격 관계, 운동량 기반 재구성—을 사용해 각 의사시간단계에서 충격 이동 방향을 결정한다.
• 이격 알고리즘을 적용하여 지표 함수의 부호에 따라 충격 인터페이스 위치를 업데이트한다.
• 작은 또는 기울어진 컷셀에서 시스템 행렬의 조건수를 개선하기 위해 셀 집합 기법을 사용한다.
• 메서드는 1차원 정적 수직 충격파에서 검증되었으며, xs = 0.55에서 정확한 충격 위치로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충격 위치와 형상에 대한 사전 지식이 없는 상황에서 고차수 XDG 방법이 미세셀 정확도의 충격파 피팅을 달성할 수 있는가?
• RQ2 반복 정밀화 과정 중 충격 인터페이스 보정에 가장 신뢰할 수 있는 방향을 제공하는 국소 지표는 무엇인가?
• RQ3 암시적 의사시간 스텝 절차는 컷셀 내에서 정확한 충격 위치로 수렴하는 데 어떻게 보장하는가?
• RQ4 메esh 기울임과 작은 컷셀은 XDG 방법에서 충격파 피팅의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법론은 이동하는 파면을 가진 진정한 2차원 및 비정상 상태 충격 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 1차원 시험 케이스에서 P⁰-투영 지표(IP⁰(ρ))는 모든 의사시간단계에서 일관되게 올바른 충격 이동 방향을 제공했다.
• 충격 인터페이스는 네 번의 의사시간단계 후 정확한 위치 xs = 0.55로 수렴하여 반복적 보정 과정의 효과를 확인했다.
• 수직 충격 관계 기반 지표(Iρ(⃗U) 및 Im(⃗U))는 t₀ 및 t₂에서 올바른 방향을 제공하지 못해 반복 과정 중 정확한 점프 관계에 의존하는 데서 비롯하는 한계를 드러냈다.
• 이격 알고리즘이 각 단계에서 충격 인터페이스 위치를 성공적으로 업데이트하여 강력한 수렴을 보장했다.
• 셀 집합 기법을 사용함으로써 작은 및 기울어진 컷셀에서의 조건수 문제를 효과적으로 완화했다.
• 이 방법은 인위적 점성을 피하고 고차수 정확도를 유지하면서도 고차수 충격파 피팅이 날카운 인터페이스 접근법을 통해 가능함을 입증했다.