[논문 리뷰] An extended existence result for quadratic BSDEs with jumps with application to the utility maximization problem

Marie Amélie Morlais|ArXiv.org|2008. 09. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한한 Lévy 측도가 필요로 하는 이전 연구를 넘어서 일반적인 Lévy 측도(무한한 활동성) 하에서 이차 후행 확률미분방정식(quadratic backward stochastic differential equations, BSDEs)에 대한 새로운 존재성 결과를 확립한다. 방법론은 동적계획법과 보조 BSDE를 활용하여 불연속적인 필터링을 갖는 점프-디퓨전 모델에서 포트폴리오 제약 조건 하의 지수 utility 최적화 문제를 해결하는 데 기반한다.

ABSTRACT

In this study, we consider the exponential utility maximization problem in the context of a jump-diffusion model. To solve the problem, we rely on the dynamic programming principle and we derive from it a quadratic BSDE with jumps. Since this quadratic BSDE is driven both by a Wiener process and by a Poisson random measure having a Levy measure with infinite mass, our main task consists in establishing a new existence result for the specific BSDE introduced.

연구 동기 및 목표

• 이차 BSDE의 존재 이론을 이전에 요구했던 유한한 Lévy 측도 가정을 초월하여 확장하기.
• 불연속적인 필터링 하에서 포트폴리오 제약 조건 하의 지수 utility 최적화 문제를 해결하기.
• 특정 이차 BSDE를 통해 가치 과정과 최적 전략을 특성화하기.
• 임의의 유한한 종료 조건을 갖는 경우, 보조 BSDE의 해와 원래 BSDE의 해 사이의 대응 관계 수립하기.
• 가치 함수와 최적 투자 전략의 명시적 동적 특성화 제공하기.

제안 방법

• utility 최적화 문제에 동적계획법 원리를 적용하여 이차 BSDE를 도출하기.
• 유한한 종료 조건 하에서 존재 문제를 다루기 위해 수정된 생성자(generator)를 갖는 보조 BSDE 도입하기.
• 종료 조건에 대한 노름 제약 조건 하에서 고정점 정리(fixed-point argument)를 사용하여 보조 BSDE의 해 존재성 증명하기.
• 임의의 유한한 종료 변수를 위한 명시적 근사법칙을 통해 원래 BSDE의 해를 구성하기.
• 보조 BSDE와 원래 BSDE의 해 사이의 일대일 대응 관계 수립하기.
• 원래 BSDE의 해를 사용하여 마틴갈 최적성 원리(martingale optimality principle)를 통해 가치 과정과 최적 전략을 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lévy 측도의 질량이 무한할 경우, 이차 BSDE의 해 존재성을 입증할 수 있는가?
• RQ2 불연속적인 필터링 하에서 포트폴리오 제약 조건 하의 동적계획법 원리를 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 보조 BSDE의 해와 원래 이차 BSDE의 해 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 가치 과정과 최적 전략은 BSDE 해를 통해 어떻게 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 지수 utility를 갖는 점프-디퓨전 모델에서 최적 투자 전략의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• Lévy 측도가 무한할 경우, 이차 BSDE의 해 존재성에 대한 새로운 결과가 확립되었으며, 이는 이전 연구에서 요구하던 유한한 Lévy 측도 조건을 초월한다.
• 원래 BSDE의 해는 임의의 유한한 종료 조건에 대해 존재하며, 보조 BSDE를 활용한 명시적 구성 방법을 통해 도달된다.
• utility 최적화 문제의 가치 과정은 원래 이차 BSDE의 해로 특성화된다.
• 최적이고 허용 가능한 전략이 존재하며, BSDE의 Z 및 U 성분을 포함하는 이차 표현의 점별 최소화를 통해 특성화된다.
• 최적 전략은 모든 t에 대해 P-거의확실하게 π* ∈ argminπ∈C(½α|πσ − (Z + θ/α)|² + |U − πβ|α) 를 만족한다.
• 가치 함수는 V(x) = −exp(−α(x − Y₀)) 로 명시적으로 주어지며, 여기서 Y₀는 BSDE 해의 초기값이다.