[논문 리뷰] An Extension of Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a Class of Nonautonomous Systems

Radu Bălan|ArXiv.org|2005. 06. 22.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 리아프노프 함수 도함수의 영집합에서 벡터장이 시간에 불변인 비자율 시스템의 일군의 클래스에 대해 바르바시노-크라소프스키-라살르 불변성 원리를 확장한다. 리아프노프 도함수의 영집합에서 제한된 동역학이 시간에 불변이고 점점 수렴함을 요구함으로써 전체 시스템은 균일 점근적 안정성을 달성한다. 핵심 기여는 선형 탐지 가능성 결과의 비선형 확장과 애핀 제어 시스템의 강건 안정화 가능성에 대한 충분 조건을 해밀턴-자코비 방정식을 통해 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a class of time-varying dynamical systems, namely the class of systems for which the restricted vector field to the zero-set of the time derivative of the Liapunov function is time invariant and this set includes some trajectories. Our goal is to improve the sufficient conditions for the case of uniform asymptotic stability of the equilibrium. We obtain an extension of an well-known linear result to the case of zero-state detectability (given (C,A) a detectable pair, if there exists a positive semidefinite matrix P>=0 such that: A^TP+PA+C^TC=0 then A is Hurwitz - i.e. it has all eigenvalues with negative real part) as well as a result about robust stabilizability of nonlinear affine control systems.

연구 동기 및 목표

• 리아프노프 함수 도함수의 영집합에서 벡터장이 시간에 불변인 시간에 따라 변하는 시스템에 대해 바르바시노-크라소프스키-라살르 불변성 원리를 확장한다.
• 고전적 라살르 정리보다 더 약한 가정 하에 비자율 시스템에서 평형점의 균일 점근적 안정성에 대한 충분 조건을 수립한다.
• 선형 탐지 가능성 결과((C,A)가 탐지 가능하고 A^TP + PA + C^TC = 0이 P ≥ 0인 해를 가질 경우 A는 허르비츠이다)를 강력한 영상상태 탐지 가능성으로 이용해 비선형 시스템으로 일반화한다.
• 해밀턴-자코비 부등식을 사용하여 시간에 불변 및 시간에 따라 변하는 교란 하에서 비선형 애핀 제어 시스템의 강건 안정화 가능성에 대한 충분 조건을 제공한다.

제안 방법

• 궤도를 따라 도함수가 비증가하는 C¹ 리아프노프 함수 V를 도입하고, W(x) ≤ 0로 정의한다.
• 영집합 E = {x ∈ D | W(x) = 0}을 정의하고, f(t,x)가 E에서 시간에 불변임을 가정한다.
• E의 최대 양의 불변 집합 N ⊂ E로 동역학을 제한하고 안정성 분석을 수행한다.
• 정리 1을 적용: N에서 제한된 동역학이 점점 수렴한다면, 전체 시스템은 균일 점근적으로 안정하다.
• 해밀턴-자코비 방정식 ∇V·f + ∇V·g(φ(h) + p(h,t)) ≤ 0을 사용하여 강건 안정화 조건을 유도한다.
• 두 종류의 교란 P₁(시간에 불변)과 P₂(시간에 따라 변하는)를 정의하고, 둘 다 W(x) ≤ 0이 성립함을 보여, 정리 1에 의해 안정성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 벡터장을 갖는 비자율 시스템에 대해 고전적 라살르 불변성 원리는 어떤 조건에서 확장될 수 있는가?
• RQ2 리아프노프 도함수의 영집합에서만 벡터장이 시간에 불변일 경우, 전체 시스템의 안정성은 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ3 리아프노프 기반 접근법을 통해 선형 탐지 가능성 결과를 비선형 시스템으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 섹터 유계 교란 하에서 애핀 비선형 제어 시스템의 강건 안정화 가능성에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ5 강력한 영상상태 탐지 가능성은 해밀턴-자코비 부등식의 양의 준정의 해 존재성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 최대 양의 불변 집합 N ⊂ E에 제한된 동역학이 점점 수렴한다면, 전체 시스템은 균일 점근적으로 안정하다.
• 선형 탐지 가능성 결과의 비선형 확장이 확립되었다: (h,f)가 강력한 영상상태 탐지 가능하고 AᵀP + PA + CᵀC = 0에 대해 P ≥ 0인 해 P가 존재한다면, A는 허르비츠이다.
• 평면 시스템 ẋ₁ = -x₁³ + u, ẋ₂ = -x₂³, y = x₂³에 대해 피드백 φ(y) = y는 임의의 a > 0에 대해 시스템을 강건하게 안정화하며, V(x₁,x₂) = (a²/4)x₂⁴는 유효한 리아프노프 함수이다.
• P₁ ∪ P₂에 속하는 교란에 대해 강건 안정화 조건이 성립하며, V의 시간 도함수는 W(x) ≤ 0으로 유계화되며, 이때 W(x) = -(2aε - ε²)(φ(h(x)))² (P₂에 대해) 및 W(x) = (p(h(x)))² - a²(φ(h(x)))² (P₁에 대해)이다.
• 해밀턴-자코비 방정식의 양의 준정의 해 존재는 시간에 불변 및 시간에 따라 변하는 교란 하에서 강건 안정화를 보장한다.
• 결과는 |φ(y)| ≤ a|y|를 만족하는 피드백은 임의로 큰 a > 0에 대해 시스템을 강건하게 안정화할 수 있음을 시사하며, 이는 예제 3에서 확인되었다.