[논문 리뷰] An Extension of Proof Graphs for Disjunctive Parameterised Boolean Equation Systems

Yutaro Nagae, Masahiko Sakai외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Formal Methods in Verification참고 문헌 11인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 데이터-양자화자 없는 및 분할형 파라미터화된 부울 방정식계(PBES)에서 결정 불가능한 소속 문제를 해결하기 위한 유한 표현 기법으로 축소된 증명 그래프를 도입한다. 정점의 집합을 단일 노드로 추상화함으로써, 무한한 증명 그래프를 유한한 축소된 종속성 공간으로 변환하여 소속 문제에 대해 타당하고 완전한 결정 절차를 가능하게 한다. 주요 기여는 이 하위 클래스의 PBES에 대해 유한한 축소된 종속성 공간을 구성하는 절차를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

A parameterised Boolean equation system (PBES) is a set of equations that defines sets as the least and/or greatest fixed-points that satisfy the equations. This system is regarded as a declarative program defining functions that take a datum and returns a Boolean value. The membership problem of PBESs is a problem to decide whether a given element is in the defined set or not, which corresponds to an execution of the program. This paper introduces reduced proof graphs, and studies a technique to solve the membership problem of PBESs, which is undecidable in general, by transforming it into a reduced proof graph. A vertex X(v) in a proof graph represents that the data v is in the set X, if the graph satisfies conditions induced from a given PBES. Proof graphs are, however, infinite in general. Thus we introduce vertices each of which stands for a set of vertices of the original ones, which possibly results in a finite graph. For a subclass of disjunctive PBESs, we clarify some conditions which reduced proof graphs should satisfy. We also show some examples having no finite proof graph except for reduced one. We further propose a reduced dependency space, which contains reduced proof graphs as sub-graphs if a proof graph exists. We provide a procedure to construct finite reduced dependency spaces, and show the soundness and completeness of the procedure.

연구 동기 및 목표

• 일반 PBES에서의 소속 문제의 결정 불가능성을 해결하기 위해 결정 가능한 하위 클래스에 집중한다.
• 일반적으로 구조가 무한한 증명 그래프에 대해 유한 표현 기법을 개발한다.
• 데이터-양자화자 없는 및 분할형 PBES에 대해 축소된 증명 그래프가 소속 문제의 해를 올바르게 표현할 수 있는 조건을 정의한다.
• 해가 존재할 경우 증명 그래프를 부분 그래프로 포함하는 축소된 종속성 공간을 도입한다.
• 데이터-양자화자 없는 및 분할형 PBES에 대해 유한한 축소된 종속성 공간을 구성하는 타당하고 완전한 절차를 제공한다.

제안 방법

• 정점이 원래 정점의 집합을 나타내는 축소된 증명 그래프를 도입하여 유한한 표현을 가능하게 한다.
• 데이터-양자화자 없는 및 분할형 PBES에 대해 축소된 증명 그래프가 만족해야 할 조건을 정의한다.
• 증명 그래프를 일반화하고, 존재할 경우 그들을 부분 그래프로 포함하는 축소된 종속성 공간을 제안한다.
• 논리적 조건에 기반한 상태 공간의 분할을 통해 유한한 축소된 종속성 공간을 구성하는 절차를 설계한다.
• 원래 시스템에 해가 존재하는 것과 동일하게 축소된 공간에 해가 존재함을 증명함으로써 구성 절차의 타당성과 완전성을 확보한다.
• 불등식 및 부울 조건과 같은 논리적 분할을 사용하여 데이터 값을 그룹화하고 상태 공간을 추상화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PBES에 대한 무한한 증명 그래프는 소속 문제의 정확성을 유지하는 유한 표현으로 대체될 수 있는가?
• RQ2 데이터-양자화자 없는 및 분할형 PBES에 대해 축소된 증명 그래프가 해를 정확히 표현하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 가능한 축소된 증명 그래프를 포함하고 유한한 계산을 가능하게 하는 축소된 종속성 공간이 존재하는가?
• RQ4 이 하위 클래스의 PBES에 대해 유한한 축소된 종속성 공간을 구성하는 타당하고 완전한 절차가 존재하는가?
• RQ5 유한한 증명 그래프가 없는 예시들 역시 유한한 축소된 증명 그래프를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 데이터-양자화자 없는 및 분할형 PBES에 대해 증명 그래프가 존재하는 것과 축소된 증명 그래프가 존재하는 것은 동치이다.
• 유한한 증명 그래ph가 없는 PBES 예시들이 유한한 축소된 증명 그래프를 가질 수 있음을 보여주며, 이는 추상화의 필요성과 이점을 입증한다.
• 제안된 절차는 소속 문제에 대해 타당하고 완전한 유한한 축소된 종속성 공간을 구성한다.
• 축소된 종속성 공간은 데이터 공간의 논리적 분할을 통해 구축되며, 예를 들어 x ≥1∧y ≥1 또는 x ≥2∧y ≥2와 같은 조건을 사용한다.
• 트럭 운송 문제 예시에서는 유한한 분할 ⟨{C1,C2},{A1,A2,A3},{B1}⟩ 과 그에 해당하는 유한한 축소된 종속성 공간을 생성한다.
• 그림 2의 축소된 증명 그래프는 성공적인 트랙 스케줄을 가진 초기 구성 상태를 정확히 특성화하며, 이는 원래의 무한한 그래프가 무한하더라도 메서드가 의도된 동작을 포괄함을 보여준다.