[논문 리뷰] An extension of Tamari lattices

Louis-François Préville-Ratelle, Xavier Gérard Viennot|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 임의의 격자 경로 v에 대해 정의된 일반화된 탐리 라티스 Tam(v)을 소개한다. Tam(v)은 같은 수의 북쪽과 동쪽 단위 이동을 가진, v 위에 약하게 있는 모든 경로로 이루어진 부분순서집합(poset)이다. 고정된 캐노피를 가진 이진트리와의 이항관계를 통해, 저자들은 Tam(v)가 라티스임을 증명하고, Tam(v)가 ←v의 이중구조와 동형임을 보이는 이중성(duality)을 확립한다. 여기서 ←v는 v를 뒤집고 동쪽과 북쪽 이동을 바꾼 경로이다. 이는 고전적 탐리 라티스와 m-탐리 라티스를 일반화하며, 고전적 탐리 라티스를 길이 n−1인 경로들로 인덱싱된 구간들로 분할한다.

ABSTRACT

18 pages

연구 동기 및 목표

• 고전적 탐리 라티스와 m-탐리 라티스를 임의의 격자 경로 v에 기반한 더 넓은 클래스의 부분순서집합으로 확장하기 위해.
• 같은 수의 북쪽과 동쪽 이동을 가진, v 위에 약하게 있는 모든 경로로 이루어진 새로운 부분순서집합 Tam(v)을 정의하기 위해.
• 임의의 경로 v에 대해 Tam(v)가 라티스임을 증명하여, 기존의 탐리 라티스 및 m-탐리 라티스에 대한 알려진 결과를 일반화하기 위해.
• Tam(v)와 ←v의 이중구조인 Tam(←v) 사이의 이중성을 확립하기 위해. 여기서 ←v는 v를 뒤집고 동쪽과 북쪽 이동을 바꾼 경로이다.
• 대칭군의 일반화된 대각선 코인variant 공간과의 연결고리를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 주어진 경로 v 위에 약하게 있는 모든 경로로 이루어진 부분순서집합 Tam(v)를 정의한다. 이 경로들은 같은 수의 북쪽과 동쪽 이동을 가져야 한다.
• 수평 거리 기반의 커버링 관계를 도입한다: 경로 u ≥ v 상의 점 p에서, p 이전에 동쪽 이동이 있고 p 이후에 북쪽 이동이 있으며, 구간 [p,p'] 동안 horizv(p)가 일정할 경우, 국소적 회전을 통해 E와 D[p,p']의 부분경로를 바꾸어 u′를 형성하고, 이로써 u <v u′ 라는 커버링 관계를 정의한다.
• 경로의 후위순회(postorder traversal)를 이용해, Tam(v)에 속한 경로들과 고정된 캐노피 v를 가진 완전한 이진트리 사이의 이항관계를 수립한다.
• 이 트리 기반 모델을 이용해 Tam(v)가 라티스임을 증명하고, 캐노피의 이중적 구조를 통해 Tam(←v)와의 이중성을 유도한다.
• 기존의 탐리 라티스 및 m-탐리 라티스에서의 간격 수 계산 결과를 활용하여, 높이 n인 고전적 탐리 라티스가 길이 n−1인 모든 경로 v에 대해 인덱싱된 Tam(v)의 간격들로 분할됨을 보인다.
• 특히 경로 위의 dinv 및 area 통계량을 일반화한 바탕으로, Tam(v)와 유리 라티스 조합론 및 일반화된 대각선 코인variant 공간 DRm_k,n 간의 잠재적 연결고리를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탐리 라티스는 디크 경로와 m-볼로트 경로를 초월하여, 북쪽과 동쪽 이동만을 포함하는 임의의 격자 경로 v에 대해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 같은 수의 북쪽과 동쪽 이동을 가진, v 위에 약하게 있는 모든 경로로 이루어진 부분순서집합 Tam(v)는 임의의 경로 v에 대해 항상 라티스인가?
• RQ3 ←v가 v를 뒤집고 동쪽과 북쪽 이동을 바꾼 경로일 때, Tam(v)와 Tam(←v) 사이에 이중성이 존재하는가?
• RQ4 고전적 탐리 라티스(높이 n인 디크 경로 기반)는 길이 n−1인 경로 v에 대해 인덱싱된 Tam(v)의 간격들로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 Tam(v)의 조합론적 성질은 k > 2인 일반화된 대각선 코인variant 공간 DRm_k,n에 대한 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 유한한 경로 v에 대해, 사각 격자 위의 북쪽과 동쪽 이동만을 포함하는 Tam(v)는 라티스이다.
• Tam(v)는 ←v의 이중구조와 동형이며, 여기서 ←v는 v를 뒤집고 동쪽과 북쪽 이동을 바꾼 경로이다.
• 높이 n인 고전적 탐리 라티스는 길이 n−1인 모든 경로 v에 대해 인덱싱된 Tam(v)의 간격들로 분할된다.
• Tam((N mE)n)의 간격 수는 m-탐리 라티스 Tam((NEm)n)의 간격 수와 동일하다. 이는 확립된 이중성 덕분이다.
• Tam(v)는 고정된 캐노피 v를 가진 완전한 이진트리의 집합과 조합적으로 동치이며, 이 동치성 덕분에 라티스 및 이중성 성질을 유도할 수 있다.
• Tam(v)의 프레임워크는 아직 구축되지 않은 k > 2인 일반화된 대각선 코인variant 공간 DRm_k,n에 대한 조합적 모델을 제공할 수 있으며, 특히 경로 위의 dinv 및 area 통계량을 일반화함으로써 이 연결고리를 강화할 수 있다.