[논문 리뷰] An extension of the Burau representation to a mapping class group associated to Thompson's group T

Christophe Kapoudjian, Vlad Sergiescu|ArXiv.org|2003. 02. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 무한 브레인 군의 부르-표현을 톰슨 군 $T$와 관련된 매핑 클래스 군 $A_T$로 확장한다. 이는 비가환 확장 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$를 통해 이루어지며, 이 확장의 아벨화는 이산 고드빌론-비라소로 클래스 $\overline{gv}$를 감지하는 중심 확장이 된다. 이는 프레슬리-세갈 확장으로부터의 당김으로서 실현된다.

ABSTRACT

We study some aspects of the geometric representation theory of the Thompson and Neretin groups, suggested by their analogies with the diffeomorphism groups of the circle. We prove that the Burau representation of the Artin braid groups extends to a mapping class group $A_T$ related to Thompson's group $T$ by a short exact sequence $B_{\infty}\hookrightarrow A_T o T$, where $B_{\infty}$ is the infinite braid group. This {\it non-commutative} extension abelianises to a central extension $0 o \Z o A_T/[B_{\infty},B_{\infty}] o T o 1$ detecting the {\it discrete} version $\bar{gv}$ of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class. A morphism from the above non-commutative extension to a reduced Pressley-Segal extension is then constructed, and the class $\bar{gv}$ is realised as a pull-back of the reduced Pressley-Segal class. A similar program is carried out for an extension of the Neretin group related to the {\it combinatorial} version of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class.

연구 동기 및 목표

• 무한 브레인 군 $B_\infty$에 의한 톰슨 군 $T$의 비가환 확장을 구성함으로써, 부르 표현을 일반화한다.
• 이 확장의 아벨화가 이산 고드빌론-비라소로 클래스 $\overline{gv}$를 감지하는 중심 확장을 유도함을 보인다.
• 비가환 확장에서 감소된 프레슬리-세갈 확장으로의 준동형을 수립하여, $\overline{gv}$ 가 프레슬리-세갈 클래스의 당김으로 실현됨을 보인다.
• 네레틴 군 $N$으로 이 프로그램을 확장하여, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-계량 클래스 $\overline{GV}$를 감지하는 유사한 비가환 확장을 구성한다.

제안 방법

• 무한 브레인 군 $B_\infty$를 포함하는 확장 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$로 매핑 클래스 군 $A_T$를 정의한다.
• 자기동형사상의 무한 차수의 집합 $\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$의 매그너스 표현을 통해, 부르 표현을 확장하는 표현 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$를 구성한다.
• 행렬 성분이 $t$-단항식 계수를 가진 대각 연산자의 유한 랭크 변형임을 보여, 표현의 연속성을 증명한다.
• 구멍과 고리 위에서 $A_T$의 작용을 통해 자유군 $F_\infty$ 위에 코너지 변환을 정의하고, $a \mapsto \mathcal{M}(a_*)$를 통해 표현을 유도한다.
• 감소된 프레슬리-세갈 확장으로의 준동형을 수립하여, 클래스 $\overline{gv}$ 가 프레슬리-세갈 클래스의 당김으로 나타남을 보인다.
• 네레틴 군 $N$에 대해 유사한 구성법을 적용하여, 핵이 $\mathfrak{S}_\infty$이고 아벨화가 $\overline{GV}$를 감지하는 비가환 확장을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레인 군의 부르 표현은 톰슨 군 $T$와 관련된 매핑 클래스 군으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비가환 확장 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$의 아벨화는 이산 고드빌론-비라소로 클래스 $\overline{gv}$를 감지하는가?
• RQ3 $\overline{gv}$ 는 $A_T$ 에서 감소된 프레슬리-세갈 확장으로의 준동형을 통해 프레슬리-세갈 클래스의 당김으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 네레틴 군 $N$ 에 대해 유사한 비가환 확장을 구성하여, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-계량 클래스 $\overline{GV}$ 를 감지할 수 있는가?
• RQ5 확장 $A_T$ 에서 핵인 $B_\infty$ 의 기하학적 및 대수적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 부르 표현은 $\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$ 의 매그너스 표현을 통해 연속 표현 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$ 로 확장된다.
• 확장 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ 의 아벨화는 중심 확장 $0 \to \mathbb{Z} \to A_T/[B_\infty, B_\infty] \to T \to 1$ 을 유도하며, 이는 이산 고드빌론-비라소로 클래스 $\overline{gv}$ 를 감지한다.
• $A_T$ 에서 감소된 프레슬리-세갈 확장으로의 준동형이 수립되어, $\overline{gv}$ 가 프레슬리-세갈 클래스의 당김으로 실현된다.
• 표현 $\rho^\mathbf{t}_\infty(a)$ 는 연속적이다. 그 이유는 행렬 성분이 $t$-단항식 계수를 가진 대각 연산자의 유한 랭크 변형이기 때문이다.
• 각 $a \in A_T$ 에 대해, 자유군 $F_\infty$ 위에서의 작용은 다음 조건을 만족하는 자동형사를 유도한다: 구멍이 구성요소 $C_i$ 위에 있을 경우 $a_*(\gamma_q) = \lambda_i \gamma_{a(q)} \lambda_i^{-1}$ 이며, $\lambda_i \in F_\infty$ 이다.
• 네레틴 군 $N$ 에 대해서도 유사한 결과를 확립하였으며, 핵이 $\mathfrak{S}_\infty$ 이고 아벨화가 $\overline{GV}$ 를 감지하는 비가환 확장을 얻었다.