[논문 리뷰] An extension of the Whittaker function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 22.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확장된 콘플루언트 하이퍼기하함수 $\Phi_{p,v}$를 사용하여 윌리지어 함수의 확장된 버전을 제안하며, 적분 표현식, 변환 공식, 멜린 변환, 미분 항등식을 유도한다. 주요 기여는 $F_{p,v}$를 포함하는 확장된 윌리지어 함수의 일반화된 멜린 변환으로, $p=0$ 또는 $v=0$일 때 기존 결과로 축소된다. 이 확장은 수정된 베타 함수와 하이퍼기하함수를 통해 매개변수 $p$와 $v$를 통합하여 고전적 윌리지어 함수를 일반화한다.

ABSTRACT

The Whittaker function and its diverse extensions have been actively investigated. Here we introduce an extension of the Whittaker function by using the known extended confluent hypergeometric function $Φ_{p,v}$ and investigate some of its formulas such as integral representations, a transformation formula, Mellin transform, and a differential formula. Some special cases of our results are also considered.

연구 동기 및 목표

• 고전적 윌리지어 함수를 확장된 콘플루언트 하이퍼기하함수 $\Phi_{p,v}$를 통합하여 확장한다.
• 확장된 윌리지어 함수에 대한 적분 표현식, 변환 공식, 멜린 변환, 미분 항등식을 유도한다.
• 매개변수 $p$와 $v$를 도입함으로써 고전적 윌리지어 함수에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• $p=0$ 또는 $v=0$일 때 고전적 항등식을 특수한 경우로 복원한다.

제안 방법

• 확장된 윌리지어 함수는 확장된 콘플루언트 하이퍼기하함수 $\Phi_{p,v}$를 사용하여 확장된 베타 함수 $B_{p,v}$를 통해 정의된다.
• 기존 콘플루언트 하이퍼기하함수의 적분 형태에 확장된 하이퍼기하함수를 대입하여 적분 표현식을 도출한다.
• 적분 표현식과 감마 함수, $\Phi_{p,v}$의 성질을 조합하여 멜린 변환을 계산한다.
• 기존의 $\Phi_{p,v}$에 대한 미분 규칙을 적용하여 확장된 윌리지어 함수에 대한 미분 공식을 도출한다.
• 특수한 경우는 $v=0$ 또는 $p=0$으로 설정하여 고전적 윌리지어 함수 항등식을 복원한다.
• 이론적 유도는 Pochhammer 기호, 감마 함수, 제2종 수정 베타 함수의 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 콘플루언트 하이퍼기하함수 $\Phi_{p,v}$를 사용하여 윌리지어 함수를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 확장된 윌리지어 함수에 적용 가능한 적분 표현식, 멜린 변환, 미분 공식은 무엇인가?
• RQ3 확장된 결과는 $p=0$ 또는 $v=0$일 때 어떻게 고전적 윌리지어 함수 항등식으로 축소되는가?
• RQ4 확장된 윌리지어 함수의 멜린 변환이 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 고전적 경우에서는 확보할 수 없었던, 확장된 프레임워크에서 유도되는 새로운 항등식은 무엇인가?

주요 결과

• 확장된 윌리지어 함수의 멜린 변환은 $\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}F_{p,v}(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$로 유도된다.
• 확장된 윌리지어 함수의 미분 공식은 $\frac{d^n}{dz^n}\{e^{z/2}z^{-\rho-1/2}M_{p,v,\lambda,\rho}(z)\} = \frac{(\rho-\lambda+\frac{1}{2})_n}{(2\rho+1)_n}e^{z/2}z^{-\rho-n/2-1/2}M_{p,v,\lambda-n/2,\rho+n/2}(z)$이다.
• $v=0$일 때 멜린 변환은 $\frac{z^{-r}\Gamma(r)B(\rho+r-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+r+\lambda+\frac{1}{2})}{B(\rho-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+\lambda+\frac{1}{2})}M_{\lambda,\rho+r}(z)$로 축소된다.
• $v=0$이고 $p=0$일 때 멜린 변환은 고전적 하이퍼기하함수 형태로 축소된다: $\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}{}_2F_1(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$.
• 확장된 윌리지어 함수는 $p=0$이고 $v=0$일 때 고전적 윌리지어 함수로 축소되며, 문헌에 기록된 알려진 항등식을 복원한다.
• 확장된 윌리지어 함수의 적분 표현식은 수정된 베타형 적분과 연결되는 수정 베타 함수 $K_{v+1/2}(p/(t(1-t)))$를 포함한다.