[논문 리뷰] An extension operator on bounded domains and applications

M. Glück, Mei‐Jun Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 미끄러운 도메인에서 Riesz 잠재력과 함께 날카로운 Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS) 부등식을 수립하며, 도메인의 확장 상수가 단위 구의 것보다 클 경우 극값 함수의 존재성을 증명한다. 작은 구멍을 가진 앙상부 도메인에서 조화 확장을 기반으로 한 시험 함수를 사용하여, 이러한 도메인이 극값 존재 조건을 만족함을 보이며, 유계 구보다 더 우수한 등주 성질을 가진 도메인에 대해 스칼라 평탄한 계량을 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we study a sharp Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type inequality with Riesz potential on bounded smooth domains. We obtain the inequality for a general bounded domain $Ω$ and show that if the extension constant for $Ω$ is strictly larger than the extension constant for the unit ball $B_1$ then extremal functions exist. Using suitable test functions we show that this criterion is satisfied by an annular domain whose hole is sufficiently small. The construction of the test functions is not based on any positive mass type theorems, neither on the nonflatness of the boundary. By using a similar choice of test functions with the Poisson-kernel-based extension operator we prove the existence of an abstract domain having zero scalar curvature and strictly larger isoperimetric constant than that of the Euclidean ball.

연구 동기 및 목표

• 유계 미끄러운 도메인의 경계를 고려하여 고전적인 Hardy-Littlewood-Sobolev 부등식을 일반화한다.
• 이러한 도메인에서 확장 연산자의 극값 함수가 존재할 조건을 규명한다.
• 작은 구멍을 가진 앙상부 도메인에 대해 단위 구의 것보다 큰 확장 상수임을 확인하기 위한 시험 함수를 구성한다.
• 등주 상수가 유계 구보다 엄격히 큰 도메인에서 스칼라 평탄한 계량의 존재성을 증명한다.
• 확장 연산자와 등주 및 스칼라 곡률 제약 조건을 포함한 기하 부등식 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 저자들은 $ x \in \Omega $ 에 대해 $ E_{\beta,\beta}f(x) = \int_{\partial\Omega} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} \, dS_y $ 를 정의하여, 고전적인 HLS 부등식을 유계 도메인으로 일반화한다.
• 확장 상수 $ \mathcal{E}_2(\Omega) $ 는 $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ 에서 $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $ 로의 $ E_2 $ 의 연산자 노름으로 정의된다.
• 구형 도메인 $ A_r = B_1 \setminus B_r $ 에서 조각별 상수 함수의 조화 확장을 사용하여, 연산자 노름을 추정하기 위한 시험 함수를 구성한다.
• 조화 확장의 $ L^{2n/(n-2)} $-노름과 경계 데이터의 $ L^{2(n-1)/n} $-노름에 대한 점점 작은 $ r $ 에 대한 점근적 분석을 통해 $ \mathcal{E}_2(A_r) > \mathcal{E}_2(B_1) $ 를 얻는다.
• 쌍대성과 등각 불변성에 의해, 확장 상수를 등주 비율 $ I(\Omega,g) $ 와 연결하고, 스칼라 곡률 제약 조건 하에서 최대성을 증명한다.
• Riesz 잠재력과 제약 연산자의 정규성 결과를 사용하여, 구성된 확장의 미분 가능성과 유계성을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 미끄러운 도메인 $ \Omega $ 에 대해 확장 연산자 $ E_2 $ 가 극값 함수를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 도메인 $ \Omega $ 의 확장 상수가 단위 구 $ B_1 $ 의 것보다 클 수 있는가? 이는 극값 함수에 대해 어떤 의미를 갖는다?
• RQ3 등주 상수가 유계 구보다 엄격히 큰 스칼라 곡률이 0인 도메인이 존재하는가?
• RQ4 양의 질량 정리나 경계의 비평탄성에 의존하지 않고, 유계 도메인에서의 HLS 부등식에 대한 극값 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 작은 구멍을 가진 앙상부 도메인에서의 확장 연산자의 행동은 등주 및 Yamabe 유형 문제와 같은 기하 부등식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $ r > 0 $ 에 대해 앙상부 도메인 $ A_r = B_1 \setminus B_r $ 에서 확장 상수 $ \mathcal{E}_2(A_r) $ 는 단위 구 $ B_1 $ 의 것보다 엄격히 크며, 이는 극값 함수의 존재를 의미한다.
• 조각별 상수 경계 데이터의 조화 확장을 기반으로 한 시험 함수의 구성은 양의 질량 정리나 경계의 비평탄성에 의존하지 않으며, 극값 존재성을 검증하는 데 새로운 방법을 제공한다.
• 상반평면에 대한 날카로운 상수 $ \mathcal{C}_2(n, 2(n-1)/n) $ 는 등각 동치와 쌍대성에 의해 유계 도메인으로 확장되며, 이 상수는 단위 구에 대해 날카롭다.
• 작은 $ r $ 에 대해, $ g $ 가 표준 계량과 등각이고 스칼라 평탄한 경우, 등주 비율 $ I(A_r, g) $ 는 유계 구의 것보다 엄격히 클 수 있음을 증명한다.
• 확장 연산자와 조화 확장의 점근적 분석을 통해 등주 상수가 향상된 도메인에 대해 스칼라 평탄한 계량의 존재가 확립된다.
• 확장 연산자 $ E_2 $ 는 $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ 를 $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $ 로 사상하며, 노름이 $ \mathcal{E}_2(\Omega) $ 이며, 이 노름은 유한하고 시험 함수를 통해 계산 가능하다.