[논문 리뷰] An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities

Marek Jarnicki, Peter Pflug|ArXiv.org|2002. 09. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체에서 다중극성 특이점을 가진 복소교차 영역 위에 정의된 별개로 메로모르픽인 함수에 대한 확장 정리를 수립한다. 이러한 함수는 해석적 확장의 포장 영역으로 메로모르픽하게 확장되며, 특이점 집합은 상대적으로 닫힌 다중극성 집합으로 매핑되며, 자연스러운 다중극성 조건 하에서 확장의 유일성과 최대성 조건을 유지한다.

ABSTRACT

Let $D_j\subset\mathbb C^{n_j}$ be a pseudoconvex domain and let $A_j\subset D_j$ be a locally pluriregular set, $j=1,...,N$. Put $$ X:=\bigcup_{j=1}^N A_1 imes... imes A_{j-1} imes D_j imes A_{j+1} imes... imes A_N. $$ Let $M\subset X$ be relatively closed. For any $j\in\{1,...,N\}$ let $Σ_j$ be the set of all $(z',z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes(A_{j+1} imes... imes A_N)$ such that the fiber $M_{(z',\cdot,z'')}:=\{z_j\in\mathbb C^{n_j}: (z',z_j,z'')\in M\}$ is not pluripolar. Assume that $Σ_1,...,Σ_N$ are pluripolar. Put ${multline*} X':=\bigcup_{j=1}^N\{(z',z_j,z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes D_j imes(A_{j+1} imes... imes A_N): (z',z'') otinΣ_j\}$. Then there exists a relatively closed pluripolar subset $\widetilde M\subset\widetilde X$ of the `envelope of holomorphy' $\widetilde X$ of $X$ such that: $\bullet$ $\widetilde M\cap X'\subset M$, $\bullet$ every function $f$ separately meromorphic on $X\setminus M$ extends to a (uniquely determined) function $\widetilde f$ meromorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, $\bullet$ if $f$ is separately holomorphic on $X\setminus M$, then $\widetilde f$ is holomorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, and $\bullet$ $\widetilde M$ is singular with respect to the family of all functions $\widetilde f$. oindent In the case where N=2, $M=\varnothing$, the above result may be strengthened.

연구 동기 및 목표

• 다중극성 특이점을 가진 교차 영역 위에 정의된 별개로 메로모르픽인 함수를 더 큰 영역으로 확장하는 것.
• 다중극성 특이점 집합을 이용하여 이러한 함수의 해석적 확장의 포장 영역을 특성화하는 것.
• 이전의 별개로 해석적 함수에 대한 결과를 메로모르픽 경우로 일반화하는 것.
• 모든 이러한 함수의 가족에 대해 확장의 유일성과 최대성을 확립하는 것.
• 확장된 영역에서 특이점 집합이 여전히 다중극성임을 보장하는 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• N중 교차 영역 $ X $ 를 정의하여, 한 성분은 허위볼록 영역에서 변할 때 다른 성분들은 국소적으로 다중극성 정규 집합에 속하도록 한다.
• 상대적 극값 다중극성 하모닉 함수의 등준위집합을 통해 해석적 확장의 포장 영역 $ \widehat{X} $ 를 정의한다.
• 확장된 특이점 집합 $ \widehat{M} \subset \widehat{X} $ 를 상대적으로 닫힌 다중극성 집합으로 구성한다.
• 각 성분의 특이점 집합이 다중극성이 아닌 점들로 이루어진 집합 $ X' $ 을 정의하여 확장과의 호환성을 확보한다.
• Rothstein 정리를 적용하여 $ X' $ 의 점들 주변의 국소적으로 메로모르픽 함수를 확장한다.
• 일치의 원리와 겹치는 이웃 영역 간의 해석적 계속을 이용하여 국소적 확장을 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 상의 전역 메로모르픽 함수로 붙인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중극성 특이점을 가진 교차 영역 위에 정의된 별개로 메로모르픽인 함수가 해석적 또는 메로모르픽으로 확장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 별개로 메로모르픽인 함수에 대해 해석적 확장의 포장 영역을 구성할 때 특이점 집합은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 다중극성 성분이 확장의 최대성과 유일성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 별개로 해석적 함수에 대한 확장 결과를 메로모르픽 경우로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 해석적 확장의 포장 영역에서 확장된 특이점 집합 $ \widehat{M} $ 의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 별개로 메로모르픽인 함수 $ f $ 는 $ X \setminus M $ 에서 정의될 때, 해석적 확장의 포장 영역 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 상의 유일한 메로모르픽 함수 $ \widehat{f} $ 로 확장된다. 여기서 $ \widehat{M} $ 은 포장 영역의 상대적으로 닫힌 다중극성 부분집합이다.
• 확장된 함수 $ \widehat{f} $ 는 $ X' \setminus M $ 에서 원래 함수 $ f $ 와 일치하므로 영역의 정상 부분에서 일致성이 보장된다.
• 원래 함수가 별개로 해석적일 경우, 확장된 함수 $ \widehat{f} $ 는 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 상에서 해석적이다. 이는 해석성의 유지 조건을 보여준다.
• $ \widehat{M} $ 은 모든 이러한 확장 $ \widehat{f} $ 의 가족에 대해 특이점 집합으로서의 성격을 지닌다. 즉, 최대성을 유지하기 위해 제거될 수 없다.
• 확장은 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 가 별개로 메로모르픽인 함수에 대해 $ X \setminus M $ 의 해석적 확장의 포장 영역임을 의미하는 최대성의 관점에서 최대이다.
• 특수한 경우 $ N=2 $, $ M=\varnothing $ 에서는 결과가 강화되어, 특이점 집합이 비어 있더라도 확장이 가능함을 보여준다.