[논문 리뷰] An extensional Kleene realizability semantics for the Minimalist Foundation

Maria Emilia Maietti, Samuele Maschio|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 10.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최소주의 기초(Minimalist Foundation, MF)를 위한 확장적 Kleene 실현가능성 의미론을 제안한다. MF는 통일된 수준(intensional level, mTT)과 확장적 수준(extensional level, emTT)을 가진 이중 수준 유형 이론이다. 저자들은 Beeson의 실현가능성 의미론을 수정하여 문장들을 증명 무관하게 해석함으로써, 확장된 Church 추측(CT)을 검증하면서도 선택 공리(AC)와의 모순을 피하였다. 이로써 emTT가 CT와 일관됨을 입증하였으며, 이는 emTT에 대한 최적의 실현가능성 모델이 됨을 보여준다.

ABSTRACT

We build a Kleene realizability semantics for the two-level Minimalist Foundation MF, ideated by Maietti and Sambin in 2005 and completed by Maietti in 2009. Thanks to this semantics we prove that both levels of MF are consistent with the (Extended) formal Church Thesis CT. MF consists of two levels, an intensional one, called mTT and an extensional one, called emTT, based on versions of Martin-Löf's type theory. Thanks to the link between the two levels, it is enough to build a semantics for the intensional level to get one also for the extensional level. Hence here we just build a realizability semantics for the intensional level mTT. Such a semantics is a modification of the realizability semantics in Beeson 1985 for extensional first order Martin-Löf's type theory with one universe. So it is formalised in Feferman's classical arithmetic theory of inductive definitions. It is called extensional Kleene realizability semantics since it validates extensional equality of type-theoretic functions extFun, as in Beeson 1985. The main modification we perform on Beeson's semantics is to interpret propositions, which are defined primitively in MF, in a proof-irrelevant way. As a consequence, we gain the validity of CT. Recalling that extFun+ CT+ AC are inconsistent over arithmetics with finite types, we conclude that our semantics does not validate the full Axiom of Choice AC. On the contrary, Beeson's semantics does validate AC, being this a theorem of Martin-Löf's theory, but it does not validate CT. The semantics we present here appears to be the best Kleene realizability semantics for the extensional level emTT of MF. Indeed Beeson's semantics is not an option for emTT since the full AC added to it entails the excluded middle.

연구 동기 및 목표

• 확장적 함수 등식성을 유지하면서도 확장된 Church 추측(CT)을 검증하는 최소주의 기초(MF)를 위한 실현가능성 의미론을 개발한다.
• 기존의 실현가능성 프레임워크를 수정하여, 확장적 수준 emTT에서 CT와 선택 공리(AC) 간의 불일치를 해결한다.
• mTT 기반의 실현가능성 모델에서 문장의 증명 무관성 해석을 활용하여, 확장적 수준 emTT가 CT와 일관됨을 보여준다.
• Beeson의 실현가능성 의미론은 선택 공리(AC)를 검증하지만, 배타적 중복의 논리를 암시하므로 emTT에는 사용될 수 없다는 것을 보여준다.
• extFun, CT, 그리고 AC의 논리적 제약 조건을 고려할 때, 제안된 의미론이 emTT에 대한 최적의 Kleene 실현가능성 모델임을 확립한다.

제안 방법

• 일관된 Martin-Löf 유형 이론에 대한 Beeson의 실현가능성 의미론을 확장적 Martin-Löf 유형 이론에 적용하지만, 문장을 증명 무관하게 해석하도록 수정한다.
• Feferman의 고전적 산술 이론 $\widehat{ID_{1}}$에 실현가능성 의미론을 형식화한다. 이 이론은 페아노 산술과 양의 산술 연산자에 대한 고정점들을 포함한다.
• mTT-집합은 Beeson의 의미론과 동일하게 해석하지만, 직관주의 연결사에 대한 Kleene 실현가능성의 단순 몫으로서 문장을 해석한다.
• mTT-소형 문장의 유니버스는 모든 소형 문장 코드를 포함하는 고정점의 몫으로 정의하여 증명 무관성을 보장한다.
• mTT에서의 증명 무관성과 $\mathsf{HA}$ 위에서의 Kleene 실현가능성에 기반하여, 확장적 함수 등식성(extFun)과 확장된 Church 추측(CT)을 검증한다.
• emTT를 mTT에 해석함으로써, mTT가 CT와 일관됨을 보장함으로써 emTT의 일관성을 전이한다. 이때 emTT에서 CT의 해석과 CT 자체가 동치임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소주의 기초(MF)에 대해, 확장적 함수 등식성을 유지하면서도 확장된 Church 추측(CT)을 검증하는 실현가능성 의미론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 선택 공리(AC)를 검증함에도 불구하고, Beeson의 실현가능성 의미론은 왜 확장적 수준 emTT에 부적합한가?
• RQ3 문장의 해석에서 증명 무관성이 CT의 타당성을 보장하면서도 선택 공리(AC)를 암시하지 않도록 하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 extFun, CT, 그리고 AC 간의 불일치를 피하는 emTT에 대한 실현가능성 모델이 존재하는가?
• RQ5 확장된 산술 이론인 $\widehat{ID_{1}}$과 같은 예측적 고전 이론에서 형식화된 실현가능성 모델을 통해 emTT가 CT와 일관됨을 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 실현가능성 의미론은 mTT와 emTT 모두에서 확장된 Church 추측(CT)을 검증하며, 이들이 CT와 일관됨을 입증한다.
• 의미론은 문장을 증명 무관하게 다루므로, CT를 검증하면서도 선택 공리(AC)와의 불일치를 피하는 데 필수적이다.
• 모델은 일반 유형에 대한 전체 선택 공리(AC)를 검증하지 않으며, AC는 emTT에서 배타적 중복을 암시하므로 구조적 성격을 위협한다.
• Beeson의 의미론은 AC를 검증하지만, emTT에 사용될 수 없다. emTT에 AC를 추가하면 배타적 중복이 유도되며, 이는 구조적 성격과 모순된다.
• 이 모델은 extFun, CT를 검증하고 일반 유형에 대한 AC를 피하므로 논리적 제약 조건을 충족하므로 emTT에 대해 최적의 모델이다.
• emTT가 CT와 일관됨은 emTT를 mTT에 해석함으로써 입증되었으며, mTT가 CT와 일관됨이 전이되었다.