[논문 리뷰] An HDG method for linear elasticity with strong symmetric stresses

Weifeng Qiu, Jiguang Shen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 05.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 23인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 일반 다면체 메esh에서 선형 탄성에 대한 새로운 하이브리드 가능 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 제안한다. 강한 대칭 응력 공식과 특수한 수치적 경계를 사용하여, 거의 불압축 상태일 경우에도 변위에 대해 최적 수렴 속도 $k+1$과 응력에 대해 $k$를 달성한다. 이는 초수렴 수치적 경계와 요소별 코른 부등식을 활용하여 잠김 없이 성능을 보장한다.

ABSTRACT

This paper presents a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity on general polyhedral meshes, based on a strong symmetric stress formulation. The key feature of this new HDG method is the use of a special form of the numerical trace of the stresses, which makes the error analysis different from the projection-based error analyzes used for most other HDG methods. For arbitrary polyhedral elements, we approximate the stress by using polynomials of degree k>=1 and the displacement by using polynomials of degree k+1. In contrast, to approximate the numerical trace of the displacement on the faces, we use polynomials of degree k only. This allows for a very efficient implementation of the method, since the numerical trace of the displacement is the only globally-coupled unknown, but does not degrade the convergence properties of the method. Indeed, we prove optimal orders of convergence for both the stresses and displacements on the elements. In the almost incompressible case, we show the error of the stress is also optimal in the standard L2-norm. These optimal results are possible thanks to a special superconvergence property of the numerical traces of the displacement, and thanks to the use of a crucial elementwise Korn's inequality. Several numerical results are presented to support our theoretical findings in the end.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다면체 요소에서 응력 텐서의 강한 대칭성을 강제하는 하이브리드 가능 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 개발한다.
• 체적 잠김을 피하면서 거의 불압축 상태에서 변위와 응력에 대해 최적 수렴 속도를 달성한다.
• 단지 변위의 수치적 경계만 전역적으로 연결된 변수로 사용하여 전역적으로 연결된 미지수를 최소화함으로써 자유도를 감소시킨다.
• 초수렴 수치적 경계의 성질과 요소별 코른 부등식에 기반한 엄밀한 오차 분석을 수립하며, 표준 투영 기반 HDG 분석과는 다름을 보인다.
• 다양한 메쉬 유형과 재료의 불압축 수준에서 메서드의 강건성과 최적 수렴성을 입증한다.

제안 방법

• 각 요소 내에서 응력에 대해 차수 $k \geq 1$의 불연속 다항식 근사와 변위에 대해 차수 $k+1$의 근사를 사용한다.
• 변위의 수치적 경계는 차수 $k$의 다항식으로 근사되며, 이는 전역적으로 연결된 유일한 미지수이므로 효율적인 해법 절차를 가능하게 한다.
• 강한 대칭성을 확보하고 표준 투영 기반 HDG 방법과는 다른 고유한 오차 분석 프레임워크를 가능하게 하기 위해 응력의 특수한 수치적 경계 형태를 도입한다.
• 응력에 대한 변형률을 제어하기 위해 중요한 요소별 코른 부등식에 의존하여 최적 오차 한계를 확보한다.
• 수치적 플럭스를 사용한 혼합 약한 형태로 수식화하고, 전역 시스템을 오직 경계 미지수로 압축한다.
• 삼각형, 육각형, 각기둥형 요소를 포함한 일반적인 다면체 메쉬에서 구현되며, 단순형 요소에 제한되지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다면체 메쉬에서 선형 탄성에 대한 하이브리드 가능 불연속 갈레르킨 방법이 응력과 변위에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법이 거의 불압축 상태에서, 특히 푸아송 비가 0.5에 가까워질 경우에도 잠김이 없는가?
• RQ3 변위의 경계 근사를 차수 $k$로 제한함으로써 전역적으로 연결된 자유도를 줄일 수 있는가?
• RQ4 특수한 수치적 경계 형태의 사용이 표준 투영 기반 HDG 방법과 비교해 오차 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 변위의 수치적 경계의 초수렴 성질이 응력 및 변위 필드에서 최적 수렴을 달성하는 데 필수적인가?

주요 결과

• 에너지 노름에서 변위에 대해 최적 수렴 순서 $k+1$과 응력에 대해 $k$를 달성하며, 거의 불압축 상태에서도 성립한다.
• 응력에 대해 거의 불압축 상태에서 $L^2$-노름에서 최적 수렴이 증명되어 체적 잠김이 없음을 확인한다.
• 수치 실험을 통해 $k=1,2,3$에서 구조적 및 비구조적 메쉬에서 변위에 대해 순서 $k+1$과 응력에 대해 순서 $k$의 최적 수렴 속도가 확인된다.
• 푸아송 비가 0.49999로 증가함에 따라 수렴 역사가 여전히 강건하고 최적임을 보여주며, 잠김이 없는 행동을 입증한다.
• 변위의 수치적 경계의 초수렴 성질이 응력 및 변위 필드에서 최적 수렴을 달성하는 데 필수적이다.
• 삼각형, 육각형, 각기둥형 요소를 포함한 일반적인 다면체 메쉬에서 최적 수렴을 유지하며, 단순형 요소에 제한되지 않는다.