[논문 리뷰] An hybrid system approach to nonlinear optimal control problems

Jean‐Guillaume Dumas, Aude Rondepierre|ArXiv.org|2005. 02. 08.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 59인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 비선형 역학을 조각별 아핀 모델로 근사하여 비선형 최적 제어 문제를 해석적으로 해결할 수 있는 하이브리드 최대원리 기반의 하이브리드 시스템 접근법을 제안한다. 주요 기여는 고차원 시스템에 대해 전역적으로 구조화된 최적 궤적을 도출할 수 있는 계산 효율성이 높은 알고리즘으로, 아핀 피드백 제어와 스위칭 시간 탐지를 통한 하이브리드 극값 궤적을 계산한다.

ABSTRACT

We consider a nonlinear ordinary differential equation and want to control its behavior so that it reaches a target by minimizing a cost function. Our approach is to use hybrid systems to solve this problem: the complex dynamic is replaced by piecewise affine approximations which allow an analytical resolution. The sequence of affine models then forms a sequence of states of a hybrid automaton. Given a sequence of states, we introduce an hybrid approximation of the nonlinear controllable domain and propose a new algorithm computing a controllable, piecewise convex approximation. The same way the nonlinear optimal control problem is replaced by an hybrid piecewise affine one. Stating a hybrid maximum principle suitable to our hybrid model, we deduce the global structure of the hybrid optimal control steering the system to the target.

연구 동기 및 목표

• 제한된 계산 자원으로 고차원 비선형 최적 제어 문제를 해결하는 데 도전하는 것.
• 비선형 역학을 분석 가능한 조각별 아핀 모델로 단순화하는 하이브리드 시스템 프레임워크를 개발하는 것.
• 하이브리드 오토마타 구조를 활용해 비선형 시스템의 제어 가능 영역에 대해 보장되고 볼록적인 근사치를 제공하는 것.
• 최적 제어 구조를 특성화하고 모드 간 전환 시간을 계산하기 위해 하이브리드 최대원리를 수립하는 것.
• 피드백 제어 법칙과 이산 모드 간 궤적 시뮬레이션을 통해 최적 제어 문제를 해석적으로 해결할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 상태-제어 공간의 다면체 메esh를 사용해 비선형 벡터장 f(X,u)를 근사하고, 역학이 조각별 아phin이 되는 셀들로 나누어 dX/dt = AX + Bu + c 형태로 표현한다.
• 메쉬의 각 셀에 대응하는 이산 모드를 가진 하이브리드 오토마타를 정의하여 셀 경계에서 모드 전환이 가능하도록 한다.
• 하이브리드 해밀토니안에서 유도된 필수 최적성 조건을 사용해 각 모드 내에서 아phin 피드백 제어를 계산한다.
• 모드 간 제약 없는 전환을 允허하고 경계를 넘어서도 쌍대 상태가 연속성을 유지하도록 하는 하이브리드 최대원리를 적용한다.
• 알고리즘 2를 사용해 반복적으로 극값 궤적을 계산한다: 상태 및 쌍대 역학을 풀고, 셀 외부로의 퇴출 시간을 탐지하며, 다음 모드의 초기 조건을 갱신한다.
• 해밀토니안 조건을 통한 스위칭 시간 탐지를 활용한다: H_h > 0 일 때 모드 전환이 발생하여 단계별로 하이브리드 극값 궤적을 시뮬레이션할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확성과 계산 비용을 균형적으로 유지하면서 비선형 최적 제어 문제를 조각별 아핀 하이브리드 시스템으로 효과적으로 근사할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 조각별 아핀 역학 하에서 비선형 시스템에 대해 보장되고 볼록적인 제어 가능 영역의 근사치는 무엇인가?
• RQ3 다양한 아핀 모드를 통해 최적 궤적의 전역적 구조를 포괄할 수 있는 하이브리드 최대원리는 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ4 하이브리드 최적 제어 프레임워크에서 모드 전환 시 쌍대 상태의 연속성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 각 모드에서의 아phin 피드백 제어가 스위칭 시간 탐지와 결합될 경우 전역 최적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 하이브리드 근사는 복잡한 역학을 메쉬된 상태-제어 공간 내의 조각별 아phin 모델로 대체함으로써 비선형 최적 제어 문제의 해석적 해법을 가능하게 한다.
• 새로운 알고리즘이 제어 가능 영역의 조각별 볼록 하한 근사를 계산하며, 이는 진짜 제어 가능 영역에서 유한한 거리 이내에 존재함을 보장한다.
• 제어 가능 영역이 볼록일 경우, 이 근사는 정확한 하한 근사치가 되므로 엄밀한 제어 가능성 보장을 제공한다.
• 하이브리드 최대원리는 최적 궤적의 전역적 구조를 성공적으로 특성화하였으며, 각 모드 내에서 최적 제어가 아phin 피드백임을 보여준다.
• 알고리즘은 해밀토니안을 모니터링하여 모드 간 전환 시간을 탐지함으로써, 궤적의 구조를 사전에 알지 못하더라도 정확한 전환 추적을 보장한다.
• 비교 기준 문제(비선형 스프링 및 궤도 이송)에 대한 검증을 통해 고차원 환경에서도 이 효율성과 정확성을 입증하였다.