[논문 리뷰] An Immersed Boundary Method with Divergence-Free Velocity Interpolation

Yuanxun Bao, Aleksandar Donev외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 25.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유체-구조 상호작용 시뮬레이션에서 부피 보존성을 크게 향상시키기 위해 수렴하지 않는 속도 보간과 力의 확산을 강제하는 새로운 임마ージ드 바운더리(IB) 방법을 소개한다. 보간된 라그랑주 속도장이 C¹이면서 수렴하지 않도록 보장하고, 애드조이ント 기반의 힘 확산을 사용함으로써, 특히 압력 기울기가 큰 얇은 경계에서 발생하는 부당한 부피 변화를 줄인다. 이는 계산 비용 증가 폭이 미미한 수준이다.

ABSTRACT

The Immersed Boundary (IB) method is a mathematical framework for constructing robust numerical methods to study fluid-structure interaction in problems involving an elastic structure immersed in a viscous fluid. The IB formulation uses an Eulerian representation of the fluid and a Lagrangian representation of the structure. The Lagrangian and Eulerian frames are coupled by integral transforms with delta function kernels. The discretized IB equations use approximations to these transforms with regularized delta function kernels to interpolate the fluid velocity to the structure, and to spread structural forces to the fluid. It is well-known that the conventional IB method can suffer from poor volume conservation since the interpolated Lagrangian velocity field is not generally divergence-free, and so this can cause spurious volume changes. In practice, the lack of volume conservation is especially pronounced for cases where there are large pressure differences across thin structural boundaries. The aim of this paper is to greatly reduce the volume error of the IB method by introducing velocity-interpolation and force-spreading schemes with the property that the interpolated velocity field in which the structure moves is at least $\mathscr{C}^1$ and satisfies a continuous divergence-free condition, and the force-spreading operator is the adjoint of the velocity-interpolation operator. We confirm through numerical experiments in two and three dimensions that our new IB method equipped with divergence-free velocity interpolation and force spreading is able to achieve substantial improvement in volume conservation compared to other existing IB methods, at the expense of a modest increase in the computational cost.

연구 동기 및 목표

• 기존의 임마ージ드 바운더리(IB) 방법에서 잘 알려진 부피 보존성 열악함 문제, 특히 압력 기울기가 큰 얇은 구조 경계에서의 문제를 해결하기 위해.
• 보간된 라그랑주 속도장이 최소한 C¹이면서 연속적인 수렴하지 않는 조건을 만족하도록 보장하는 속도 보간 기법을 개발하기 위해.
• 속도 보간 연산자의 수반 연산자로 구성된 힘 확산 연산자를 구축하여 일致성과 보존 성질을 보장하기 위해.
• 수치적 안정성에 손상을 주지 않으면서도 과도한 계산 비용 증가 없이 부피 보존성을 크게 향상시키기 위해.

제안 방법

• 속도 보간에 C¹ 정규화 델타 함수 커널을 사용하여 유체 속도를 라그랑주 구조 점으로 매끄럽고 수렴하지 않게 보간한다.
• 속도 보간 연산자가 연속적인 의미에서 결과로 나오는 보간된 속도장이 수렴하지 않도록 설계되어 부피 무결성이 유지된다.
• 힘 확산 연산자는 속도 보간 연산자의 수반으로 구성되어 라그랑주 힘과 오일러 기반 유체 힘 사이의 일치성을 보장한다.
• 변분 제형을 사용하여 보간 및 확산 연산자를 유도함으로써 수학적 일관성과 향상된 보존 성질을 확보한다.
• 이 방법은 2차원 및 3차원 모두에 구현되었으며, 이산 수준에서 수렴하지 않는 성질을 유지하는 수치적 스킴을 사용한다.
• 부피 보존성과 정확도를 평가하기 위해 벤치마크 유체-구조 상호작용 문제를 사용하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수렴하지 않는 속도 보간 기법이 얇은 경계, 고압력 기울기 조건에서 기존 IB 방법의 부피 오차를 현저히 줄일 수 있는가?
• RQ2 보간 커널에 C¹ 정규화 조건을 적용할 경우 IB 시뮬레이션에서 유체 부피 보존에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 애드조이ント 기반의 힘 확산 연산자가 IB 방법의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기존의 표준 델타 함수 커널을 사용하는 전통적 IB 방법에 비해 제안된 방법이 부피 보존에 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 특히 얇은 구조에서 큰 압력 기울기가 존재하는 경우 기존 IB 방법에 비해 부피 보존성에서 뚜렷한 향상을 이룬다.
• 보간된 속도장은 수렴하지 않으며 C¹이므로, 일반적인 IB 수식에서 흔히 발생하는 부당한 부피 변화를 방지한다.
• 수반 힘 확산 연산자의 사용은 라그랑주 힘과 오일러 기반 유체 힘 사이의 일치성을 보장하여 보존 성질을 향상시킨다.
• 2차원 및 3차원에서의 수치 실험은 방법이 높은 정확도를 유지하면서도 부피 오차를 현저히 줄임을 확인한다.
• 계산 비용 증가 폭이 미미하여 실제 유체-구조 상호작용 시뮬레이션에 실용적으로 적용 가능하다.
• 다양한 벤치마크 문제에서의 성능은 방법의 효과성과 일반성을 확인한다.