[논문 리뷰] An improved return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces: PART I - the Haigh-Westergaard coordinates

Stanislav Sysala, Martin Čermák외 4명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 12.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 35인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 탄소성 이론에서 비연속 강도 표면에 대해 서브미니멀 기반의 복귀-매핑 기법을 제안하며, 정점 또는 모서리와 같은 다양한 복귀 유형에 관계없이 유일하게 정의된 비선형 방정식계를 통합적으로 제공한다. 이는 이산화된 구성 연산자의 존재성, 유일성 및 반연속성 보장과 함께, Haigh-Westergaard 좌표계를 사용한 토양 유사 재료의 한계 해석에서 향상된 수렴성과 안정성을 보여준다.

ABSTRACT

The paper is devoted to the numerical solution of elastoplastic constitutive initial value problems. An improved form of the implicit return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces is proposed that systematically builds on a subdifferential formulation of the flow rule. The main advantage of this approach is that the treatment of singular points, such as apices or edges at which the flow direction is multivalued involves only a uniquely defined set of non-linear equations, similarly to smooth yield surfaces. This paper (PART I) is focused on isotropic models containing: $a)$ yield surfaces with one or two apices (singular points) laying on the hydrostatic axis; $b)$ plastic pseudo-potentials that are independent of the Lode angle; $c)$ nonlinear isotropic hardening (optionally). It is shown that for some models the improved integration scheme also enables to a priori decide about a type of the return and investigate existence, uniqueness and semismoothness of discretized constitutive operators in implicit form. Further, the semismooth Newton method is introduced to solve incremental boundary-value problems. The paper also contains numerical examples related to slope stability with available Matlab implementation.

연구 동기 및 목표

• 기존 복귀-매핑 기법에서 특이점(예: 정점, 모서리)에서 발생하는 수치적 불안정성과 다중값의 플라스틱 유동에 대한 부호 없는 처리 문제를 해결한다.
• 서브미니멀 공식화를 활용한 비연속 강도 표면을 위한 체계적이고 수학적으로 일관된 프레임워크를 개발한다.
• 반복적 추측이나 보조 해법 없이 사전에 복귀 유형(예: 정점 또는 모서리)을 결정할 수 있도록 한다.
• 암시적 시간 적분을 위한 이산화된 구성 연산자의 존재성, 유일성 및 반연속성을 보장한다.
• 유한요소 해석에서 탄소성 문제를 위한 반연속 뉴턴 방법 기반의 안정적 구현 기반을 제공한다.

제안 방법

• 비연속 표면에 대해 전통적인 기울기 기반 규칙 대신 플라스틱 허위-잠재능의 서브미니멀을 활용해 플라스틱 유동 법칙을 수립한다.
• 응력 상태와 강도 표면을 표현하기 위해 Haigh-Westergaard 좌표계를 사용하며, 특히 수직축에 특이점이 존재하는 등방성 모델에 중점을 둔다.
• 모든 복귀 유형(정점, 모서리, 매끄러운 표면)에 대해 유일하게 정의된 단일 비선형 방정식계를 구성하여 경우에 따라 다른 공식화를 피한다.
• 이산화된 연산자의 반연속성에 기반해 반연속 뉴턴 방법을 도입하여 증분 경계값 문제를 해결한다.
• 비선형 등방성 피로 모델, 특히 Drucker-Prager 및 단순화된 Jirasek-Grassl 모델에 이 기법을 적용한다.
• 경사 안정성 문제에서의 수치 예제를 통해 기존 표준 기법과의 수렴 특성 및 해의 정확도를 비교하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 강도 표면에 대해 특이점에서의 경우에 따라 부호 없는 구분 없이 통합적인 복귀-매핑 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 서브미니멀 공식화가 시험 응력 상태로부터 반복적 추측 없이 사전에 복귀 유형(예: 정점)을 결정할 수 있는가?
• RQ3 제안된 기법이 암시적 시간 적분에서 이산화된 구성 연산자의 존재성, 유일성 및 반연속성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 비선형 특이 강도 표면을 갖는 모델에 대해 기존 복귀-매핑 방법과 비교해 개선된 기법이 수렴성과 안정성 측면에서 어떻게 우월한가?
• RQ5 이 방법은 경사 안정성과 같은 실제 지구역학 문제에 대해 최소한의 수치적 오류로 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 복귀-매핑 기법은 복귀 유형에 관계없이 단일의 유일하게 정의된 비선형 방정식계를 도출하여, 경우에 따라 다른 공식화가 필요 없음을 보여준다.
• Drucker-Prager 모델의 경우, 최고 해상도의 P1 메esh에서 한계 하중 계수 4.124를 도출하였으며, 표준 기법 대비 둥근 오차가 작고 뉴턴 반복 횟수가 적었다.
• Drucker-Prager 모델에 맞추어 校정된 단순화된 Jirasek-Grassl 모델은 최고 해상도의 Q2 메쉬에서 한계 하중 계수 4.107을 도출하여 양호한 일치와 빠른 수렴을 보였다.
• 일부 모델에 대해 이 기법은 복귀 유형을 사전에 결정할 수 있어 해법 과정에서 반복적 추측이나 시행착오에 대한 의존도를 감소시켰다.
• 이산화된 연산자의 반연속성에 기반해 반연속 뉴턴 방법은 신뢰성 있게 수렴하였으며, 이는 연구된 모델 클래스에 대해 수학적으로 증명된 바가 있다.
• 계산 효율성 측면에서, 개선된 수렴성에도 불구하고 뉴턴 반복 수가 감소하고 특이점 근처에서의 안정성이 향상되어 표준 기법과 유사한 총 계산 시간을 기록하였다.