[논문 리뷰] An in-principle super-polynomial quantum advantage for approximating combinatorial optimization problems via computational learning theory

Niklas Pirnay, Vincent Ulitzsch외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 조합 최적화 문제의 해를 근사하는 데 있어 양자 컴퓨터가 고전적 컴퓨터보다 초다항적 우위를 달성할 수 있음을 구축적으로 증명한다. 계산 학습 이론과 암호학적 난이도 가정을 활용하여, 고전적 알고리즘이 다항 인자 내에서 근사하는 데에 비효율적인 문제 인스턴스를 설계하였으며, 이는 쇼어의 소인수분해 알고리즘을 기반으로 한 양자 알고리즘이 최적 해를 다항 인자 내에서 효율적으로 근사함으로써 원칙적으로 양자 우위를 입증한다.

ABSTRACT

Combinatorial optimization - a field of research addressing problems that feature strongly in a wealth of scientific and industrial contexts - has been identified as one of the core potential fields of applicability of quantum computers. It is still unclear, however, to what extent quantum algorithms can actually outperform classical algorithms for this type of problems. In this work, by resorting to computational learning theory and cryptographic notions, we prove that quantum computers feature an in-principle super-polynomial advantage over classical computers in approximating solutions to combinatorial optimization problems. Specifically, building on seminal work by Kearns and Valiant and introducing a new reduction, we identify special types of problems that are hard for classical computers to approximate up to polynomial factors. At the same time, we give a quantum algorithm that can efficiently approximate the optimal solution within a polynomial factor. The core of the quantum advantage discovered in this work is ultimately borrowed from Shor's quantum algorithm for factoring. Concretely, we prove a super-polynomial advantage for approximating special instances of the so-called integer programming problem. In doing so, we provide an explicit end-to-end construction for advantage bearing instances. This result shows that quantum devices have, in principle, the power to approximate combinatorial optimization solutions beyond the reach of classical efficient algorithms. Our results also give clear guidance on how to construct such advantage-bearing problem instances.

연구 동기 및 목표

• 조합 최적화 문제의 근사에서 고전적 다항 시간 알고리즘을 초월하는 엄밀하고 구축적인 양자 우위를 확립하기 위해.
• 암호학적 가정에 기반하여, 고전적 컴퓨터가 다항 인자 내에서 근사하기 어려운 특정 문제 인스턴스를 식별하기 위해.
• 이러한 인스턴스에 대해 양자 알고리즘이 쇼어의 알고리즘을 핵심 구성 요소로 활용하여 최적 해를 효율적으로 근사할 수 있음을 보여주기 위해.
• 계산 학습 이론과 최적화에서의 양자 우위를 연결하여, 우위를 낳는 인스턴스의 종단 간 구축을 제공하기 위해.
• 양자 우위가 점근적이거나 조건부가 아니라, 알려진 양자 알고리즘에 뿌리를 두고 완전히 명시적이고 종합적인 구축에 기반한 것임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자들은 케른스와 발리언의 암호학적 학습 제약 프레임워크를 바탕으로, 근사하기 어려운 조합 최적화 인스턴스를 정의한다.
• 고전적 알고리즘이 다항 인자 내에서 해를 효율적으로 근사할 수 없는 인스턴스를 구성하며, 이는 수론적 난이도(예: 소인수분해)에 기반한다.
• 양자 알고리즘은 큰 정수의 소인수분해를 수행하기 위해 쇼어의 알고리즘을 사용하며, 이를 최적화 인스턴스에 통합하여 효율적인 해 근사가 가능하도록 한다.
• 소인수분해 문제를 비용 함수에 코딩하여 조합 최적화 문제로 매핑하는 구성 방식을 취한다.
• 양자 위상 추정과 주기 찾기 알고리즘을 사용하여 비용 함수를 평가함으로써 다항 인자 내 근사해를 달성한다.
• 전체 구성은 종단 간 구축되며, 고전적 구성 요소와 양자적 구성 요소가 모두 명시되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 컴퓨터는 조합 최적화 문제의 근사에서 고전적 컴퓨터보다 초다항적 우위를 제공할 수 있는가?
• RQ2 고전적 근사가 다항 인자 내에서 증명적으로 어려운 특정, 명시적으로 구성 가능한 조합 최적화 인스턴스가 존재하는가?
• RQ3 쇼어의 소인수분해 알고리즘을 서브루틴으로 재사용하여 이러한 최적화 문제에서 효율적 근사를 달성할 수 있는가?
• RQ4 계산 학습 이론과 암호학적 난이도 가정의 제약 하에서 최적화에서의 양자 우위는 유지되는가?
• RQ5 히우리스틱 또는 히우리스틱 유사 양자 알고리즘에 의존하지 않는, 완전히 명시적이고 종단 간의 양자 우위를 구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• 저자들은 고전적 컴퓨터가 어떤 다항 인자 내에서도 근사하기 어려운 조합 최적화 문제의 명시적 인스턴스를 구성하였다.
• 이러한 인스턴스에 대해 쇼어의 소인수분해 알고리즘을 기반으로 한 양자 알고리즘이 최적 해를 다항 인자 내에서 효율적으로 근사할 수 있다.
• 양자 우위는 고전적 근사 복잡도가 양자 런타임의 어떤 다항식보다도 더 빠르게 증가함으로써 초다항적 성격을 띤다.
• 구성은 완전히 명시적이고 종단 간 구축되어 있으며, 소인수분해 문제가 조합 최적화 프레임워크에 어떻게 통합되는지 보여준다.
• 양자 우위는 암호학적 난이도, 특히 고전적 컴퓨터가 정수의 소인수분해를 해결하기 어려운 데 기반하며, 양자 다항 시간 내에 해결 가능하다.
• 이 작업는 계산 학습 이론과 수론에 기반하여, 조합 최적화에서 근사에 대해 증명 가능한 원칙적 양자 우위를 확립한다.