[논문 리뷰] An Index for Superconformal Quantum Mechanics

Nick Dorey, Andrew Singleton|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 31.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 대칭을 가진 양자역학계에 대해 초등방형 지수를 도입하며, 단위 표현의 최저 무게 표현을 분류하고, 연속적인 초대칭 보존 변형에 대해 불변인 지수를 정의한다. 이 지수는 짧은 다중표현과 반단정 다중표현만을 세며, 삼홀로모르피즘을 가진 하이퍼-카이러 콘 위의 $\sigma$-모델의 경우, 초대칭 양자역학 모델의 위튼 지수와 일치한다. 이 모델은 유지된 $\mathfrak{su}(1|2)$ 대칭을 가진다. 이는 보호된 BPS 상태의 정밀한 수를 제공한다.

ABSTRACT

We study quantum mechanical systems with $\mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ superconformal symmetry. We classify unitary lowest-weight representations of this superconformal algebra and define an index which receives contributions from short and semi-short multiplets only. We consider the example of a quantum mechanical $σ$-model with hyper-Kähler target $\mathcal{M}$ equipped with a triholomorphic homothety. The superconformal index coincides with the Witten index of a novel form of supersymmetric quantum mechanics for a particle moving on $\mathcal{M}$ in a background magnetic field in which an unbroken $\mathfrak{su}(1|2)$ subalgebra of the superconformal algebra is linearly realised as a global symmetry.

연구 동기 및 목표

• 초등방형 대칭 algebra $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 의 단위 최저 무게 표현을 분류하기 위해.
• 모델의 연속적인 초대칭 보존 변형에 대해 불변인 초등방형 지수를 정의하기 위해.
• 새로운 초대칭 양자역학 모델의 초등방형 지수와 위튼 지수 사이의 대응관계를 수립하기 위해, 이 모델은 $ \mathfrak{su}(1|2)$ 전역 대칭을 가진다.
• 특히 인stanton 모듈리 공간에 대해 하이퍼-카이러 콘 위의 $\sigma$-모델에서 보호된 BPS 상태의 스펙트럼을 계산하기 위해.
• 힐버트 급수와 포incare 다항식을 사용하여 반-BPS 및 기타 보호된 다중표현의 비율을 닫힌 형태로 유도하기 위해.

제안 방법

• 초등방형 지수는 슈퍼트레이스로 정의된다: $ I(t,y) = \mathrm{tr}\left[(-1)^F e^{-\beta\mathcal{H}} t^{\mathbb{T}} y^{\mathbb{N}} \right] $, 여기서 $\mathcal{H}$ 는 BPS 상태에서 0이 된다.
• 지수는 짧은 다중표현과 반단정 다중표현에서만 기여를 받도록 구성되어 있어, 장 다중표현으로의 재결합에 대해 불변성을 확보한다.
• 지수는 배경 자기장이 있는 초대칭 양자역학 모델의 위튼 지수와 관련이 있으며, 이 모델에서 $ \mathfrak{su}(1|2)$ 는 전역 대칭으로 실현된다.
• 하이퍼-카이러 콘의 경우, 지수는 등변 심플렉틱 해상에서의 국소화를 통해 계산되며, 초등방형 대칭 대칭의 부분대칭을 유지한다.
• 힐버트 급수는 지수의 $y \to \infty$ 극한에서 추출되며, 비율의 생성함수를 제공한다.
• $1/2$ BPS 다중표현 $S(n,n)$ 의 비율은 $\sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n$ 을 만족하는 총 무게 $K$ 의 $N$-색상 분할의 수로 주어지며, 이는 Borel-Moore 호모로지의 $b_{2r}$ 와 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 보조 대칭 보존 변형에 대해 불변인 초등방형 지수를 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 대칭을 가진 양자역학계에 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 자기장이 있는 초대칭 양자역학 모델에서 초등방형 지수와 위튼 지수 사이의 정확한 대응관계는 무엇인가?
• RQ3 삼홀로모르피즘을 가진 하이퍼-카이러 콘 위의 $\sigma$-모델에서 보호된 BPS 상태는 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 의 기저 표현으로 어떻게 분해되는가?
• RQ4 인스탄턴 모듈리 공간의 위상적 불변량을 사용하여 $1/2$ BPS 다중표현 $S(n,n)$ 의 정확한 비율은 무엇인가?
• RQ5 초등방형 지수에서 어떻게 하이퍼-카이러 콘 위의 힐버트 급수를 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 초등방형 지수 $I(t,y)$ 는 이론의 연속적 변형에 대해 불변이며, 장 다중표현을 제외하고 짧은 다중표현과 반단정 다중표현만을 세며, 재결합에 의해 형성된 장 다중표현은 포함하지 않는다.
• 삼홀로모르피즘을 가진 하이퍼-카이러 콘 위의 $\sigma$-모델의 경우, 초등방형 지수는 $ \mathfrak{su}(1|2)$ 전역 대칭을 가진 초대칭 양자역학 모델의 위튼 지수와 일치한다.
• $1/2$ BPS 다중표현 $S(n,n)$ 의 비율 $N^{(n,n)}$ 은 $\sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n$ 을 만족하는 총 무게 $K$ 의 $N$-색상 분할의 수로 주어지며, 이는 Borel-Moore 호모로지의 $b_{2r}$ 와 일치한다.
• 포incare 다항식 $P^{(N,K)}(q) = \sum_r b_{2r} q^{2r}$ 는 지수의 $t \to 0$ 극한에서 $q = y/t$ 를 통해 나타나며, 나카지마의 공식을 복원한다.
• 인스탄턴 모듈리 공간 위의 정칙 함수에 대한 힐버트 급수 $\mathrm{HS}(t,x,Z)$ 는 지수의 $y \to \infty$ 극한에서 유도되며, $\mathrm{HS}(t,x,Z) = \sum_{\vec{Y}: ||\vec{Y}||=K} \prod_{i,j} \prod_{s \in Y_i} \mathrm{PE}\left[t^{g_{ij}(s)-1} x^{f_{ij}(s)} \frac{z_i}{z_j} (1+t^2) \right]$ 를 만족한다.
• $SS(r/2,d-1,d-1)$ 다중표현의 비율 $N^{(j,d-1,d-1)}_R$ 는 힐버트 급수를 특성 $\chi_R(x,Z)$ 에 대해 전개함으로써 추출되며, $\mathrm{HS}_R(t) = N^{(d,d)}_R + N^{(d,d-1)}_R t + \sum_r N^{(r/2,d-1,d-1)}_R t^{2+r}$ 를 만족한다.