[논문 리뷰] An index formula for a bundle homomorphism of the tangent bundle into a vector bundle of the same rank, and its applications

Kentaro Saji, Masaaki Umehara외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원에서의 가우스-보네 유형 지수 공식을 일관된 접속 벡터 장에 대해 고차원 짝수 차원 다양체로 일반화하며, 일반적인 $A_k$-특이점을 가진 일관된 접속 벡터 장에 대한 위상적 불변량을 확립한다. 주요 결과는 목표 벡터 장의 오일러 특성을 호환되는 공방향성 영역의 오일러 특성과 기호가 부여된 홀수 인덱스를 가진 $A_k$-특이점의 수에 따라 표현하는 공식으로, 표면 이론과 초표면 기하학에서의 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In a previous work, the authors introduced the notion of `coherent tangent bundle', which is useful for giving a treatment of singularities of smooth maps without ambient spaces. Two different types of Gauss-Bonnet formulas on coherent tangent bundles on 22-dimensional manifolds were proven, and several applications to surface theory were given. Let $M^n$ ($n\ge 2$) be an oriented compact $n$-manifold without boundary and $TM^n$ its tangent bundle. Let $\mathcal E$ be a vector bundle of rank $n$ over $M^n$, and $φ:TM^n o \mathcal E$ an oriented vector bundle homomorphism. In this paper, we show that one of these two Gauss-Bonnet formulas can be generalized to an index formula for the bundle homomorphism $φ$ under the assumption that $φ$ admits only certain kinds of generic singularities. We shall give several applications to hypersurface theory. Moreover, as an application for intrinsic geometry, we also give a characterization of the class of positive semi-definite metrics (called Kossowski metrics) which can be realized as the induced metrics of the coherent tangent bundles.

연구 동기 및 목표

• 일관된 접속 벡터 장에 대한 2차원 가우스-보네 유형 지수 공식을 짝수 차원 다각형으로 확장한다.
• 일반적인 $A_k$-특이점을 가진 벡터 장의 동치 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$의 위상적 불변량을 특성화한다.
• 이 공식을 초표면 이론과 내재 기하학, 특히 코소프스키 메트릭에 적용한다.
• 지수 공식을 통해 공방향성 모린 메트릭을 특성화한다.
• 이전의 웨이브 프론트 및 특이 표면에 대한 결과를 고차원으로 일반화한다.

제안 방법

• 일관된 접속 벡터 장을 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$로 정의하며, 적분 조건 $D_X\varphi(Y) - D_Y\varphi(X) = \varphi([X,Y])$를 만족시킨다.
• 특이점 $A_k$를 $k=2,\dots,n$에 대해 정의하며, 홀수 $k$에 대해 양/음성을 정의한다.
• 벡터 장 $\mathcal{E}$의 메트릭과 접속을 $M^n$에 옮겨서 유도된 메트릭 $ds^2_\varphi$를 정의한다.
• 부분다양체와 특이점 집합의 오일러 특성에 관한 위상 기법을 적용하여 지수 공식을 유도한다.
• 특히 짝수 $n=2m$인 경우에만 일반적인 $A_k$-특이점이 존재할 때 공식이 성립함을 증명한다.
• 메트릭과 접속의 인플로우를 통해 코소프스키 메트릭과 일관된 접속 벡터 장 간의 대응관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 가우스-보네 공식을 일관된 접속 벡터 장에 대해 고차원 짝수 차원 다각형으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 특이점을 가진 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$에 의한 벡터 장 $\mathcal{E}$의 오일러 특성을 지배하는 위상적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 특히 홀수 $k$에 대해 $A_k$-특이점은 다각형의 전반적 위상 기하학에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 양의 정부호 메트릭(코소프스키 메트릭)이 일관된 접속 벡터 장의 유도 메트릭으로서 나타나기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 지수 공식을 사용하여 컴acts한 짝수 차원 다각형에서의 모린 메트릭을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 짝수 차원 컴팩트 온전한 다각형 $M^{2m}$에 대해, 벡터 장 $\mathcal{E}$의 오일러 특성은 $\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^{2m}_+) - \chi(M^{2m}_-) + \sum_{j=1}^{m} \left( \chi(\mathfrak{A}^{+}_{2j+1}) - \chi(\mathfrak{A}^{-}_{2j+1}) \right)$ 로 주어지며, 여기서 $\mathfrak{A}^{\pm}_{2j+1}$ 는 양성 및 음성 $A_{2j+1}$-특이점의 집합이다.
• 이 공식은 2차원 경우를 일반화한다: $n=2$일 때는 $\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^2_+) - \chi(M^2_-) + \#\mathfrak{A}^+_3 - \#\mathfrak{A}^-_3$ 로 줄어들며, 웨이브 프론트에 대한 기존 결과를 복원한다.
• 다각형 $M^n$에 정의된 코소프스키 메트릭 $ds^2$가 유도된 일관된 접속 벡터 장을 유도하기 위한 필요충분조건은 메트릭과 접속의 인플로우가 전체 다각형에서 조건 (1.1)을 만족하는 것이다.
• 다각형 $M^{2m}$에서의 공방향성 모린 메트릭은 지수 공식 (1.4)를 만족하며, [7, Prop. 3.3]을 일반화한다.
• 다각형 $M^{2m}$에 정의된 등각 평탄한 메트릭 $g$가 있으며, 그 쌍대 메트릭 $\check{g}$ 가 $2 \leq k \leq 2m+1$ 인 $A_k$-특이점만을 가진다면, 특이점 집합은 $M^{2m}_\pm$ 이 스카우텐 텐서 행렬식의 부호에 의해 정의될 때 지수 공식을 만족한다.
• 버블 함수를 이용한 벡터 장의 연장과 일반적인 장으로의 근사화를 통해 특성 벡터 장의 존재성을 확립한다.