[논문 리뷰] An index theorem for families of elliptic operators invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|arXiv (Cornell University)|1999. 06. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 단순 연결된 가환 리 군의 병렬체로 구성된 군의 자유 작용을 보존하는 타원형 연산자 가중치에 대해 등변 가중치 지수 정리를 수립한다. 비가환 기하학과 페도소프 곱을 이용하여 국소 지수 공식을 유도하고, 아티야-식거 유형의 공식을 통해 지수의 차라클래스를 계산한다. 또한 s=0에서 에타 불변량의 정칙성을 증명하고, D⁻¹D′를 포함하는 추적 공식을 유도한다.

ABSTRACT

Abstract. We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle G of Lie groups. If the fibers of G → B are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of “higher-eta invariants,” which are morphisms Kn(Ψ ∞ inv (Y)) → C. We also obtain new proofs of the regularity at s = 0 of η(D0, s), the eta function of D0, and of the relation η(D0, s) = π−1Tr1(D −1D ′) (here D = D0 + ∂t, D ′ = [D,t]). The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, ψ ∞ inv (Y) and Ψ ∞ inv (Y), are generalizations of “parameter dependent ” algebras of pseudodifferential operators (with parameter in Rq), so our results provide also an index theorem for

연구 동기 및 목표

• 단순 연결된 가환 리 군 병렬체에 대해 자유 작용을 보존하는 타원형 연산자에 대한 등변 가중치 지수를 정의하고 계산한다.
• 비자명한 병렬체 위에서 매개변수 의존성 있는 가역적 미분연산자 대수의 일반화를 등변 설정으로 확장한다.
• 비가환 기하학에서 페도소프 곱을 사용하여 국소 지수 공식을 수립한다.
• 불변 미분연산자에 대한 K-이론에서 복소수로의 사상으로서의 고차 에타 불변량을 구성한다.
• 에타 함수의 s=0에서의 정칙성과 추적 항등식 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′)에 대한 새로운 증명을 제공한다.

제안 방법

• 단순 연결된 가환 리 군 병렬체 G → B의 자유 작용을 보존하는 연산자에 대해 등변 가중치 지수를 정의한다.
• 지수를 특성류로 변환하기 위해 차라클래스를 사용하며, 아티야-식거 유형의 공식을 통해 이를 계산한다.
• 위상적으로 비자명한 병렬체를 다루기 위해 비가환 기하학의 기법을 적용한다.
• 페도소프 곱을 이용하여 불변 미분연산자 대수에 대한 추적을 구성한다.
• 페도소프 곱과 순환 코hom로지 기법을 조합하여 국소 지수 공식을 도출한다.
• 추적 공식을 이용하여 항등식 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′)와 s=0에서의 η(D₀,s)의 정칙성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 연결된 가환 리 군 병렬체에 대해 자유 작용을 보존하는 타원형 연산자에 대한 등변 가중치 지수는 어떻게 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ2 등변 가중치 지수의 차라클래스로서의 차라클래스는 특성류의 어떤 형태로 표현되는가?
• RQ3 페도소프 곱을 사용하여 이러한 가중치에 대해 국소 지수 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비가환 기하학은 어떻게 위상적으로 비자명한 리 군 병렬체를 다루는 데 기여하는가?
• RQ5 고차 에타 불변량은 불변 미분연산자에 대한 K-이론에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 등변 가중치 지수의 차라클래스는 아티야-식거 유형의 공식을 통해 계산되며, 지수에 대한 위상적 표현을 제공한다.
• 페도소프 곱을 이용하여 불변 미분연산자 대수의 국소 지수 공식이 도출된다.
• 에타 함수 η(D₀,s)는 s=0에서 정칙임이 입증되었으며, 이는 핵심적인 해석학적 문제를 해결한다.
• 항등식 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′)가 확립되었으며, 이는 에타 불변량을 D⁻¹D′의 추적과 연결한다.
• 고차 에타 불변량은 Kn(Ψ∞inv(Y)) → C 형태의 사상으로 구성되며, 고전적 에타 불변량을 일반화한다.
• Ψ∞inv(Y)와 ψ∞inv(Y) 대수는 매개변수 의존성 있는 미분연산자 대수의 일반화로서, 그 지수 이론을 등변 설정으로 확장한다.