[논문 리뷰] An Index Theory for Paths that are Solutions of a Class of Strongly Indefinite Variational Problems

Paolo Piccione, Daniel V. Tausk|ArXiv.org|2001. 08. 06.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭을 가진 준아인슈타인 다양체에서의 지오데식을 해결하는 강한 불확정성 변분 문제를 위한 새로운 지수 이론을 개발한다. 공액된 킬링 장을 통해 음의 방향을 인수분해함으로써 지오데식 작용 함수를 유계하나 아래로 내려가며 유한한 모어스 지수를 갖는 함수로 줄이고, 이 지수를 마스лов 지수와 연결하여 고델 유형 및 정적 준아인슈타인 다각체에서의 지오데식에 대해 모어스 관계를 증명한다.

ABSTRACT

We prove a generalized version of the Morse index theorem for geodesics endowed with a non positive definite metric tensor (semi-Riemannian manifolds). We apply the result to obtain lower estimates on the number of geodesics joining two fixed non conjugate points in certain classes of manifolds. More specifically, we consider semi-Riemannian manifolds $(M,\mathfrak g)$ admitting a smooth distribution spanned by commuting Killing vector fields and containing a maximal negative distribution for $\mathfrak$. In particular we obtain Morse relations for stationary semi-Riemannian manifolds and for the {\em Gödel-type} manifolds.

연구 동기 및 목표

• 표준 팔라스-스무스 조건과 유한한 모어스 지수 조건이 실패하는 강한 불확정성 변분 문제에 대해 모어스 이론을 일반화하는 것.
• 준아인슈타인 기하학에서 모어스 지수를 계산하는 데 도전하는 문제를 다루며, 특히 비정의 계량과 무한차원 임계점 지수를 가진 다각체에서의 지오데식에 대해 다룬다.
• 감소된 함수의 유한한 지수와 해당 지오데식의 기하학적 마스볼 지수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 고델 유형 및 정적 준아인슈타인 다각체와 같은 특정 유형의 준아인슈타인 다각체에서 두 비공액점 사이를 연결하는 지오데식의 수에 대해 모어스 관계를 유도하는 것.

제안 방법

• 공액된 킬링 장과 관련된 보존 법칙을 유지하는 곡선으로 제한함으로써 준아인슈타인 다각체에서의 지오데식 작용 함수를 감소시키는 것.
• 이중선형형식 $B^{ ext{int}}_{ ilde{ ho}}(b)$를 포함하는 선형계의 해를 이용하여 감소된 다각체 $M_0$의 기저 곡선 공간과 다각체 $M$의 전체 지오데식 공간 사이의 미분동형사상을 구성하는 것.
• 유계 조건이 성립하는 계량과 곡률 연산자에 대해, 힐베르트 다각체 $\tilde{\rho}_{p_0q_0}(M_0)$ 위에 감소된 함수 $E_0$를 정의하며, 이 함수는 아래로 유계이면서 팔라스-스무스 조건을 만족한다.
• 감소된 함수의 모어스 지수를 공식 $n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ 를 통해 전체 마스볼 지수와 감소된 마스볼 지수의 차이와 연결하는 것.
• 힐베르트 다각체 위에서 표준 모어스 이론을 적용하여, 루프 공간 $\Omega^{(0)}(M)$의 베티 수와 주어진 지수 차이를 가진 지오데식의 수를 연결함으로써 모어스 관계를 도출하는 것.
• 감소가 가능한 고델 유형 및 정적 준아인슈타인 다각체에 이 이론을 적용하며, 최대 음의 분포와 공액된 킬링 장의 존재로 감소가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 지수와 팔라스-스무스 조건이 실패하는 강한 불확정성 변분 문제에 대해 어떻게 모어스 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 감소된 함수의 유한한 모어스 지수는 원래 지오데식의 마스볼 지수와 기하학적으로 어떻게 의미가 있는가?
• RQ3 대칭을 가진 준아인슈타인 다각체, 예를 들어 고델 유형 또는 정적 다각체에서 지오데식에 대해 모어스 관계를 수립할 수 있는가?
• RQ4 감소된 마스볼 지수와 전체 마스볼 지수 사이의 관계는 무엇이며, 일반적인 경우에 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 감소된 함수가 아래로 유계이자 팔라스-스무스 조건을 만족하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비퇴화 임계점에서 감소된 함수 $E_0$의 모어스 지수는 전체 마스볼 지수와 감소된 마스볼 지수의 차와 같다: $n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$.
• 계량과 이중선형형식 $B^{ ext{int}}_{\tilde{\rho}}(b)$에 대해 적절한 유계 조건이 성립할 경우, 함수 $E_0$는 아래로 유계이며 팔라스-스무스 조건을 만족한다.
• 지점 $p$에서 $q$로 가는 지오데식의 수 중 지수 차이가 $i$인 경우는 모어스 관계를 만족한다: $\sum_{i=0}^{\infty}n_i(p,q)\lambda^i = \mathfrak{P}_\lambda(\Omega^{(0)}(M);\mathbb{K}) + (1+\lambda)Q(\lambda)$, 여기서 $\mathfrak{P}_\lambda$ 는 루프 공간의 푸아앵카르 다항식이다.
• 루프 공간 $\Omega^{(0)}(M)$ 는 기저 곡선 공간 $\Omega_{p_0q_0}(M_0)$ 와 같은 호모토피 유형을 가지며, 이는 표준 모어스 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 감소된 마스볼 지수 $\mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ 는 일반적으로 공식 (2.26)을 통해 계산할 수 있으며, 이는 라그랑주 그라스만니안에서의 경로의 교차 수를 포함한다.
• 이 이론은 최대 음의 분포와 공액된 킬링 장의 존재로 감소가 가능한 고델 유형 다각체 및 정적 준아인슈타인 다각체에 적용된다.