[논문 리뷰] An infinite family of excluded minors for strong base-orderability

Joseph E. Bonin, Thomas J. Savitsky|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 수의 배수를 가지는 무한한 수의 배제 최소성을 강한 기저 순서 가능성을 위해 일반화한 인글턴의 예제를 통해 구성한다. 이는 그가 식별한 무한한 수의 매트로이드가 기저 순서 가능성과 감모이드의 두 클래스 모두에 대한 배제 최소성임을 증명한다. 이 논문은 기저 순서 가능성과 강한 기저 순서 가능성 사이의 계층을 나타내는 k-기저 순서 가능성을 도입하며, k-기저 순서 가능 매트로이드가 완전한 클래스를 이룬다는 것을 보이고, 구성된 매트로이드들이 (k−1)-기저 순서 가능하지만 k-기저 순서 가능하지 않다는 것을 증명함으로써 강한 기저 순서 가능성에 대한 그들의 역할을 확립한다.

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Ingleton on excluded minors for base-orderability, and, extending a result he stated, we prove that infinitely many of the matroids that he identified are excluded minors for base-orderability, as well as for the class of gammoids. We prove that a paving matroid is base-orderable if and only if it has no minor that is isomorphic to the cycle matroid of the complete graph on four vertices. For each k that is at least 2, we define the property of k-base-orderability, which lies strictly between base-orderability and strong base-orderability, and we show that k-base-orderable matroids form what Ingleton called a complete class. By generalizing an example of Ingleton, we construct a set of matroids, each of which is an excluded minor for k-base-orderability, but is (k-1)-base-orderable; the union of these sets, over all k, is an infinite set of base-orderable excluded minors for strong base-orderability.

연구 동기 및 목표

• 기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성을 해결하기 위해 인글턴의 추측을 해결하기 위해 이러한 최소성의 무한한 집합을 구성하는 것.
• 기저 순서 가능성과 강한 기저 순서 가능성 사이에 놓인 k-기저 순서 가능 매트로이드의 계층을 정의하고 분석하는 것.
• 포장 매트로이드가 M(K₄)-최소성을 갖지 않는 경우에만 기저 순서 가능하다는 것을 증명하는 것.
• 구성된 매트로이드 Mβ가 기저 순서 가능성과 감모이드 클래스 양쪽에 대한 배제 최소성임을 보여주는 것.
• Ingleton의 정의에 따라 k-기저 순서 가능 매트로이드의 클래스가 완전한 클래스임을 확립하는 것.

제안 방법

• 특정 순환 평면과 순환 고체를 가지는 매트로이드 Mβ의 가족을 구성하기 위해 인글턴의 예제를 일반화하는 것.
• 크기가 최대 k인 모든 부분집합에 대해 교환 조건이 성립하는 기저 교환 성질로 k-기저 순서 가능성을 정의하는 것.
• 이중과 단일 원소 압축을 사용하여 Mβ와 Mβ*가 k-기저 순서 가능성과 강한 기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성임을 보이는 것.
• 메이슨-인글턴 조건을 사용하여 Mβ의 단일 원소 압축이 전이 가능하고 따라서 감모이드임을 증명하는 것.
• 기저와 순환 평면의 구조를 분석하여 Mβ가 (k−1)-기저 순서 가능하지만 k-기저 순서 가능하지 않다는 것을 확인하는 것.
• 모든 k ≥ 2에 대해 이러한 배제 최소성의 합집합이 강한 기저 순서 가능성에 대한 무한한 집합을 이룬다는 것을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인글턴이 1975년 논문에서 식별한 매트로이드들 중에서 기저 순서 가능성과 강한 기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성인 것이 무한히 많은가?
• RQ2 각 수준이 이전 수준보다 엄밀히 강력하고 완전한 클래스를 형성하는 k-기저 순서 가능 매트로이드의 계층을 정의할 수 있는가?
• RQ3 포장 매트로이드의 클래스가 M(K₄) 최소성을 배제하는 경우에만 기저 순서 가능하다고 할 수 있는가?
• RQ4 구성된 매트로이드 Mβ는 k-기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성임과 동시에 (k−1)-기저 순서 가능하다고 할 수 있는가?
• RQ5 Mβ의 단일 원소 삭제는 여전히 감모이드인가, 아니면 다른 특성으로 기술되어야 하는가?

주요 결과

• 강한 기저 순서 가능성에 대한 무한한 수의 배제 최소성 집합이 구성되었으며, 각 매트로이드는 기저 순서 가능하지만 강한 기저 순서 가능하지 않다.
• 모든 k ≥ 2에 대해 매트로이드 Mβ는 k-기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성이지만 (k−1)-기저 순서 가능하다. 이는 엄밀한 계층을 확립한다.
• Ingleton의 정의에 따라 k-기저 순서 가능 매트로이드의 클래스가 완전한 클래스임을 증명하였으며, 이는 최소성, 이중, 직접 합, 단순화, 유도된 방향 그래프에 의한 유도에 대해 닫혀 있다.
• 포장 매트로이드는 M(K₄)-최소성을 갖지 않는 경우에만 기저 순서 가능하다는 것이 증명되었으며, 이는 이 클래스에 대한 완전한 특성화를 제공한다.
• 이중 매트로이드 Mβ* 역시 k-기저 순서 가능성과 강한 기저 순서 가능성에 대한 배제 최소성이며, (k−1)-기저 순서 가능하다.
• 주어진 k에 대해 비동일한 매트로이드 Mβ의 수는 k = 2h+1일 때 h²이며, k = 2h일 때는 (h−1)² + h이다. 이는 k의 기수성에 따라 정확한 수를 보여준다.