[논문 리뷰] An Infinite Family of Quadratic Quadrinomial APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne외 2명|ArXiv.org|2007. 07. 09.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\gcd(k,3) = 1$ 를 만족하는 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 위에서 무한한 수의 이차 사항식 함수를 구성하며, 관련 미분 사상의 핵 분석을 통해 이들이 APN(거의 완전 비선형)임을 증명한다. 주요 기여는 기존의 단항 함수와 CCZ-동치가 아닌 새로운 APN 함수의 클래스를 제안하는 것으로, $n=6$에 대한 명시적 구성이 이루어져 딜런의 목록에 포함된 삼항식과 일치한다.

ABSTRACT

We present an infinite family of quadratic APN functions on a finite field of dimension over GF(2) divisible by 3.

연구 동기 및 목표

• 기존의 단항 함수 가족을 초월하여 $\gcd(k,3) = 1$ 를 만족하는 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 위에서 새로운 무한한 수의 APN 함수 가족을 구성하는 것.
• 미분 사상 $F(x+q)+F(x)+F(q)$의 핵 크기 분석을 통해 이 함수들이 APN임을 증명하는 것.
• $n=6$의 경우 CCZ 동치 관계를 규명하여, 이 함수들이 알려진 거듭제곱 매핑과는 동치가 아니지만, 딜런의 목록에 있는 삼항식과는 동치임을 보이는 것.
• 이 새로운 가족이 어떤 단항 함수와도 EA-동치가 아니며, 이는 이전에 모든 APN 함수가 단항 함수와 EA-동치일 것이라는 추측에 도전하는 것임.
• 원시 원소를 사용한 명시적 매개변수화와 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 내 계수 $u,v,w$에 대한 제약 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• $s,k$ 및 계수에 대한 제약 조건을 가진 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 위에서 함수 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$ 를 정의한다.
• 관련 선형 다항식의 핵 크기 분석을 통해 $F(x)+F(x+q)+F(q) = 0$ 이 최대 두 개의 해를 가짐을 보여, APN 성질을 증명한다.
• 해를 분석하고 $\mathbb{F}_{2^k}$ 내에 존재함을 보일 수 있도록 선형 다항식 $L_\theta(T) = T + \theta T^{2^k} + \theta^{2^k+1}T^{2^{-k}}$ 를 사용한다.
• $a = u^{2^k-1}q^{2^{-k}+2^{k+s}-2^s-1}$ 와 같은 치환과 간소화를 적용하여 시스템을 해결 가능한 형태로 감소시킨다.
• 일곱 제곱 잔여물의 성질과 $u$의 원시성을 활용하여 비자명한 해가 존재하지 않음을 입증하고, 핵 크기가 최대 2임을 보인다.
• $n=6$의 경우, 함수의 그래프와 부호 검사 행렬 간의 동치성을 활용하여, 딜런의 목록에 있는 삼항식과 CCZ-동치임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\gcd(k,3) = 1$ 를 만족하는 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 위에서 새로운 무한한 수의 이차 사항식 APN 함수 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 함수들이 골드 또는 카사미-웰치와 같은 알려진 단항 APN 함수들과 CCZ-동치인가?
• RQ3 매개변수 $s,k,u,v,w$에 어떤 조건이 성립하면 함수 $F(x)$ 가 APN이 되는가?
• RQ4 $F(x)$ 의 미분 성질은 방정식 $F(x)+F(x+q)=p$ 가 최대 두 개의 해를 가짐을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 $n=6$ 일 때, 구성된 함수들이 딜런의 컴퓨터 검색 결과 목록에 포함된 삼항식들과 동치인가?

주요 결과

• $\gcd(k,3)=1$ 를 만족하고 $s,k,u,v,w$에 적절한 제약 조건이 부여된 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 위에서 정의된 함수 $F(x)$ 는 APN임이 증명되었다.
• 모든 $q \neq 0$ 에 대해 미분 사상 $F(x+q)+F(x)+F(q)$ 의 핵 크기는 최대 2이며, 이는 APN 성질을 확인한다.
• $n=6$ 일 때, 구성된 함수들은 딜런의 목록에 포함된 삼항식들, 예를 들어 $x^3 + x^{10} + u x^{24}$ 와 CCZ-동치이지만, 어떤 단항 함수와도 동치가 아니다.
• 이 함수들은 골드, 카사미-웰치 및 기타 알려진 단항 APN 함수들과 CCZ-동치가 아니며, 이는 새로운 가족임을 확인한다.
• 증명은 미분 방정식의 모든 해가 $\mathbb{F}_{2^k}$ 내에 존재하며, $u$의 원시성과 $u^{2^k-1}$ 이 제곱수의 잔여물이 아님을 이용하여 추가 해가 존재하지 않음을 보여, 핵 크기가 최대 2임을 입증한다.
• 특정 계수 조건 하에서는 함수가 $x^3$ 으로 축소되지만, 일반적으로는 새로운 CCZ-동치가 아닌 APN 함수를 제공한다.