[논문 리뷰] An Input-Output Approach to Structured Stochastic Uncertainty in Continuous Time

Maurice Filo, Bassam Bamieh|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 24.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태공간 표현을 피하면서, 구조적 승법 확률적 불확실성을 지닌 연속시간 선형 정수계(LTI) 시스템에서 평균제곱안정성(MSS)을 분석하기 위한 순수 입력-출력 접근법을 개발한다. 스토크라틱 블록도를 도입하고, 스펙트럴 반경을 통한 MSS 조건을 유도하며, 이는 Itō 및 Stratonovich 해석 모두에 대해 유효하며, 무한차원 및 시간지연 시스템의 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the continuous-time setting of linear time-invariant (LTI) systems in feedback with multiplicative stochastic uncertainties. The objective of the paper is to characterize the conditions of Mean-Square Stability (MSS) using a purely input-output approach, i.e. without having to resort to state space realizations. This has the advantage of encompassing a wider class of models (such as infinite dimensional systems and systems with delays). The input-output approach leads to uncovering new tools such as stochastic block diagrams that have an intimate connection with the more general Stochastic Integral Equations (SIE), rather than Stochastic Differential Equations (SDE). Various stochastic interpretations are considered, such as Itō and Stratonovich, and block diagram conversion schemes between different interpretations are devised. The MSS conditions are given in terms of the spectral radius of a matrix operator that takes different forms when different stochastic interpretations are considered.

연구 동기 및 목표

• 상태공간 표현에 의존하지 않고, 구조적 승법 확률적 불확실성을 지닌 연속시간 LTI 시스템에 대한 평균제곱안정성(MSS) 조건을 수립하기 위해.
• 백색 잡음 과정이 동적 방정식에 승법적으로 들어갈 때 잘 정의되지 않는 연속시간 설정에서 수학적 엄밀성을 확보하기 위해.
• 무한차원 및 시간지연 시스템을 포함하는 더 넓은 시스템 클래스를 다룰 수 있도록 상태공간 표현을 피하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 블록도 변환 기법과 스토크라틱 적분 방정식을 통해 Itō 및 Stratonovich 해석을 통합하기 위해.
• 기존 상태공간 기반 MSS 분석이 제시된 입력-출력 프레임워크의 특수한 경우로 간편하게 복원될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 백색 잡음이 아닌 위너 과정 미분(dw, dγ)을 사용하여 스토크라틱 미분 방정식으로 시스템을 수립함으로써 수학적 엄밀성을 확보하기 위해.
• 다양한 스토크라틱 해석 하에서 승법 및 가감성 외란을 포괄하는 스토크라틱 블록도를 사용하여 피드백 시스템을 표현하기 위해.
• 스펙트럴 반경이 안정성 결정하는 행렬 연산자 ℒ_T를 정의하며, 이는 시스템의 임펄스 응답과 불확실성 공분산 구조에서 유도된다.
• 시간 간격 t_k = kT에서의 시간 샘플링 분석을 통해 연산자 ℒ_T의 단조성 특성을 활용하여 출력 공분산 행렬 U(t_k)의 재귀적 경계를 도출하기 위해.
• 양의 준정부호 행렬 및 연산자 노름의 성질을 활용하여, 귀납법과 스펙트럴 반경 분석을 통해 공분산 성장의 하한을 설정하기 위해.
• 스펙트럴 반경 분석을 통해 Itō 및 Stratonovich 해석 간의 변환 체계를 수립하고, 일관된 블록도 표현을 가능하게 하기 위해 스토크라틱 적분 방정식 변환을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태공간 표현을 사용하지 않고, 구조적 승법 확률적 불확실성을 지닌 연속시간 LTI 시스템에서 평균제곱안정성을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 연속시간에서 승법 백색잡음의 표현을 위한 수학적 기초는 무엇이며, 이를 위너 과정을 통해 어떻게 엄밀하게 다룰 수 있는가?
• RQ3 다른 스토크라틱 해석(Itō 대비 Stratonovich)은 안정성 분석에 어떻게 영향을 미치며, 이를 상호 변환하기 위해 어떤 블록도 변환 기법이 필요한가?
• RQ4 행렬 연산자 ℒ의 스펙트럴 반경이 평균제곱안정성 결정에 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 스토크라틱 해석에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이 입력-출력 프레임워크 내에서 상태공간 기반 안정성 분석은 특수한 경우로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 평균제곱안정성이 보장되는 것은 유일하게 행렬 연산자 ℒ의 스펙트럴 반경 ρ(ℒ)이 1보다 작을 때이다. 이 연산자는 시스템의 임펄스 응답과 불확실성 구조를 통해 정의된다.
• 임펄스 응답 M의 H²-노름이 무한대일 경우, 불확실성 구조에 관계없이 출력 공분산 U(t)는 유계로 증가하지 않으며, 이는 불안정성을 의미한다.
• H²-노름이 유한한 시스템의 경우, ρ(ℒ) ≥ 1이면 출력 공분산 U(t)는 시간이 지남에 따라 유계로 증가하며, ρ(ℒ) > 1이면 기하급수적 성장이 발생하고, ρ(ℒ) = 1이면 임의로 큰 성장이 가능하다.
• 샘플링 시간 t_k = kT에서의 U(t_k)에 대한 경계는 U(t_k) ≥ ∑_{r=0}^k ℒ_T^r(Û)를 만족하며, 이는 연산자 ℒ_T에 의한 누적 성장이 있음을 보여준다. 여기서 Û는 최악의 초기 공분산이다.
• ρ(ℒ) > 1일 경우, 충분히 작은 ε를 선택하여 효과적 성장 인자 α > 1가 되게 함으로써 기하급수적 성장률이 확립되며, 이는 지수적 발산을 유도한다.
• ρ(ℒ) = 1일 경우, 경계는 U(t_k) ≥ (1/ε)Û가 되며, 임의로 작은 ε에 대해 성립하므로, 공분산이 유계로 증가하지 않음을 증명한다. 이는 기하급수적 성장은 아니지만, 무한히 증가할 수 있음을 의미한다.