[논문 리뷰] An integrabilist approach of out-of-equilibrium statistical physics models

Matthieu Vanicat|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 08.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 열역학적 평형이 아닌 통계역학 모델에 대한 통합적 접근법을 개발하며, 개방된 경계를 가진 배제과정과 입자 생성/소멸을 중심으로 다룬다. 행렬 곱 스킴과 정확한 해법을 사용하여, 거시적 변동 이론(Macroscopic Fluctuation Theory, MFT)의 예측을 유도하고, 유한한 크기의 정확한 결과와 대조하여 검증한다. 이는 본질적으로 입자 생성/소멸이 일어나는 계에서 MFT에 대한 첫 번째 검증을 제공하며, 다종류 입자 시스템으로 MFT를 확장한다.

ABSTRACT

In the first part of the thesis we construct models, called integrable, in which we can perform exact computations of physical quantities. We introduce several new out-of-equilibrium models that are obtained by solving, in specific cases, the Yang-Baxter equation and the reflection equation. We provide new algebraic structures which allow us to construct the solutions through a Baxterisation procedure. In the second part of the thesis we compute exactly the stationary state of these models using a matrix ansatz. We shed light on the connection between this technique and the integrability of the model by pointing out two key relations: the Zamolodchikov-Faddeev relation and the Ghoshal-Zamolodchikov relation. The integrability is also exploited, through the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations, to compute the fluctuations of the particles current, unrevealing connections with the theory of symmetric polynomials (the Koornwinder polynomials in particular). Finally the last part of the thesis deals with the hydrodynamic limit of the models, i.e when the lattice spacing tends to zero and the number of particles tends to infinity. The exact results obtained for a finite size system allow us to check the validity of the predictions of the macroscopic fluctuations theory (concerning the fluctuations of the current and the density profile in the stationary state) and to extend the theory to systems with several species of particles.

연구 동기 및 목표

• 입자 생성 및 소멸이 계내에서 발생하는 비평형 통계역학 모델을 연구하기 위한 통합적 프레임워크를 개발한다.
• 개방 경계를 가진 다종류 입자 배제과정으로의 거시적 변동 이론(Macroscopic Fluctuation Theory, MFT)을 확장한다.
• 행렬 곱 스킴을 사용하여 유한한 크기의 시스템에서 전류 및 밀도 분포의 정확한 해를 수립한다.
• 쌍 생성/소멸을 포함하는 모델에서 열역학적 한계에서 MFT 예측을 정확한 결과와 대조하여 검증한다.
• 다종류 비대칭 단순 배제과정(Asymmetric Simple Exclusion Process, ASEP)에 대해 통합 가능한 경계 조건을 일반화한다.

제안 방법

• 개방된 배제과정의 정확한 평형 상태 해를 구성하기 위해 행렬 곱 스킴(Matrix Product Ansatz, MPA)을 활용한다.
• 다종류 SSEP의 입자 밀도 분포의 대 deviation 함수를 계산하기 위해 가산성 원리를 적용한다.
• 유한한 크기의 관측량(전류, 밀도)의 열역학적 한계를 통해 미세한 정확한 해와 거시적 MFT 예측을 연결한다.
• MFT에서 유도된 비선형 오일러-라그란주 방정식계의 최소화를 통해 거시적 작용 함수를 유도한다.
• 쌍 생성 및 응집이 계내에서 발생하는 모델에서 정확한 결과를 MFT 예측과 대조하여 검증한다.
• 대수적 및 행렬 곱 기법을 사용하여 다종류 ASEP에 대한 통합 가능한 경계 접근법을 개방 경계 조건으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 생성 및 소멸이 일어나는 유한한 크기의 배제과정에서 전류 및 밀도 분포의 정확한 해는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 계내 입자 반응이 일어나는 시스템에서 열역학적 한계에서의 정확한 결과는 거시적 변동 이론(Macroscopic Fluctuation Theory, MFT)의 예측와 얼마나 일치하는가?
• RQ3 다종류 SSEP의 밀도 분포의 대 deviation 함수를 계산하기 위해 가산성 원리는 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ4 통합 가능한 경계 조건은 다종류 배제과정에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 거시적 거동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 거시적 변동 이론는 입자 생성 및 소멸이 일어나는 다종류 확산 시스템을 기술하기 위해 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 다종류 SSEP의 밀도 분포에 대한 정확한 대 deviation 함수는 가산성 원리와 행렬 곱 스킴을 통해 계산되었다.
• 계내 입자 생성 및 소멸이 일어나는 시스템에 대해 거시적 변동 이론(Macroscopic Fluctuation Theory, MFT)의 예측에 대한 첫 번째 검증이 이루어졌으며, 열역학적 한계에서 정확한 유한한 크기의 결과와 일치하였다.
• 쌍 생성 및 응집이 일어나는 모델에 대해 전류 및 밀도 분포의 정확한 해가 유도되었으며, 열역학적 한계에서 MFT와 일치함을 보였다.
• 다종류 ASEP에 대한 통합 가능한 경계 조건이 일반화되었으며, 이는 평형 상태 관측량의 정확한 계산을 가능하게 하였다.
• MFT 작용 함수가 다종류 시스템에서 배제 조건을 행렬 곱 구조를 통해 정확히 기록하고 있음을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 미세한 통합성과 거시적 비평형 거동을 성공적으로 연결하여, 일정한 비평형 시스템의 클래스에 대해 통합적인 기술을 제공한다.