[논문 리뷰] An Interpolating Distance between Optimal Transport and Fisher-Rao

Lénaïc Chizat, Bernhard Schmitzer외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 22.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 질량 운반과 질량 생성/소멸을 동적 설정과 소스 항을 통해 조합함으로써 최적 운반(Wasserstein) 및 파이셔-레이오 지표 사이를 보간하는 새로운 리만 유사 거리 WFδ를 제안한다. 이 방법은 질량이 균형을 이루지 않는 측도로의 최적 운반 일반화를 가능하게 하며, 지오데식선의 존재를 증명하고, 수치 실험을 통해 국소적 질량 증가 조절을 통한 이미지 보간 향상을 보여준다.

ABSTRACT

This paper defines a new transport metric over the space of non-negative measures. This metric interpolates between the quadratic Wasserstein and the Fisher-Rao metrics and generalizes optimal transport to measures with different masses. It is defined as a generalization of the dynamical formulation of optimal transport of Benamou and Brenier, by introducing a source term in the continuity equation. The influence of this source term is measured using the Fisher-Rao metric, and is averaged with the transportation term. This gives rise to a convex variational problem defining our metric. Our first contribution is a proof of the existence of geodesics (i.e. solutions to this variational problem). We then show that (generalized) optimal transport and Fisher-Rao metrics are obtained as limiting cases of our metric. Our last theoretical contribution is a proof that geodesics between mixtures of sufficiently close Diracs are made of translating mixtures of Diracs. Lastly, we propose a numerical scheme making use of first order proximal splitting methods and we show an application of this new distance to image interpolation.

연구 동기 및 목표

• 최적 운반은 질량이 같은 측도에만 적용되므로, 질량 생성/소멸을 고려한 질량이 균형을 이루지 않는 측도로의 일반화를 통해 이를 해결한다.
• 재매개변수화 불변성과 기하학적 일관성을 보장하면서 최적 운반 기하학과 파이셔-레이오 기하학을 통합하는 리만 유사 지표를 개발한다.
• 안정적인 수치 계산과 지오데식선 이론적 분석을 가능하게 하는 볼록 변분형식을 제공한다.
• 질량 변화가 본질적인 의료 영상 및 형태 보간 응용 분야에서 실용적 적용을 가능하게 한다.
• 원자 측도와 부드러운 측도 사이의 지오데식선 행동에 대한 이론적 기초를 확립하며, 극한 경우와 구조적 성질을 포함한다.

제안 방법

• 연속 방정식에 소스 항 ζ를 포함한 동적 최적 운반 문제를 설정: ∂tρ + ∇·ω = ζ로, 시간에 따라 질량 변화를 허용한다.
• 파이셔-레이오 지표에서 유도된 ∫∫ |ζ|²/ρ dxdt 페널티 항을 도입하여 질량 생성/소멸의 비용을 측정한다.
• 총 에너지 함수를 가중합으로 정의: ∫∫ |ω|²/ρ dxdt + δ²∫∫ |ζ|²/ρ dxdt로, δ는 운반과 질량 변화 사이의 보간을 조절한다.
• 수치적 구현을 위해 일阶 프록시멀 스플리팅 방법을 사용하여 유도된 볼록 변분 문제를 해결한다.
• 이중 형식을 사용하여 최적성 조건을 유도하고, 이중 변수 ϕ를 질량 증가율로 해석한다.
• 질량 총합이 다른 밀도 사이의 지오데식선을 계산함으로써 이미지 보간에 적용하며, 특히 생물학적 및 합성 이미지 예제에서 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반은 어떻게 질량이 다른 측도를 다룰 수 있도록 일반화될 수 있으며, 이를 통해 기하학적 및 볼록성 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ2 제안된 보간 지표에서 지오데식선의 구조는 어떠한가, 특히 원자 측도 사이에서는 어떻게 되는가?
• RQ3 보간 매개변수 δ는 지오데식선의 행동에 어떻게 영향을 주며, δ → 0 또는 δ → ∞일 때의 극한 경우는 무엇인가?
• RQ4 제안된 지표는 효율적으로 수치적으로 구현 가능하며, 실제 이미지 보간 작업에 적용 가능한가?
• RQ5 지표는 리만 기하학적 성질과 측도 지지 집합의 변화에 대한 안정성과 같은 바람직한 기하학적 성질을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 WFδ 지표는 최적 운반과 파이셔-레이오 지표 사이를 보간하는 유일한 리만 유사 거리이며, 볼록성, 동차성, 동적 최소화 문제에서 유도된다.
• 모든 δ > 0에 대해 지오데식선이 존재하며, 측도 공간에서 볼록 변분 문제로서 잘 정의되어 있다.
• δ → 0일 때 지표는 제곱형 워셔스타인 거리 W2로 수렴하고, δ → ∞일 때는 파이셔-레이오 지표로 수렴한다.
• 충분히 가까운 딜라 매크스의 혼합물에 대해서는 지오데식선이 딜라 매크스 혼합물의 이동으로 구성되며, 원자적 구조를 유지한다.
• 수치 실험 결과 WFδ는 W2나 부분 운반보다 더 직관적인 이미지 보간을 제공함을 보여주며, 질량 불균형이 있는 생물학적 이미지에서 특히 효과적이다.
• WFδ 지오데식선의 속도장은 W2와 달리 질량 증가에 국소적으로 적응하며, 소스 항은 물리적으로 의미 있는 증가율(이중 변수 ϕ로 해석됨)을 제공한다.