[논문 리뷰] An introduction to Lie groupoids

Antonio Kumpera|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 조르당-홀더 분해 분석과 편미분방정식 적분을 위한 기초 도구로 리 군oids, 리 대수류, 리 피규어군을 도입한다. 고전적 리 군 이론을 군oids로 확장하며, 연장 기법과 국소적 비틀림을 강조한다. 주요 결과로는 선형 리 군oids의 k차 연장이 국소적으로 비틀린 부분군oids를 이루며, 이에 대응하는 리 대수류가 연장된 미분 연산자들에 의해 생성됨을 보여준다.

ABSTRACT

We discuss the basic properties of Lie groupoids, Lie algebroids and Lie pseudo-groups in view of applying these techniques to the analysis of Jordan-Hölder resolutions and, subsequently, to the integration of partial differential equations. The present introduction is an extension to Lie groupoids, as far as possible, of the so well known properties and techniques much useful in Lie groups theory. We mention as far as possible since, in the case of Lie groupoids, just the first Lie Theorem holds. As for the prolongation algorithm, it is extremely useful when dealing with groupoids whereas rather senseless in the case of Lie groups.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 구조와 미분방정식을 연구하기 위해 고전적 리 군 이론을 리 군oids로 확장하는 것.
• 리 피규어군과 그 군oids 형태를 이용한 조르당-홀더 분해 분석의 프레임워크를 수립하는 것.
• 고전적 리 군 이론에서는 효과적이지 않은, 리 군oids에서의 연장 기법의 유용성을 보여주는 것.
• 선형 리 군oids의 k차 연장을 국소적으로 비틀린 부분군oids로 특성화하고, 리 대수류를 통해 미분 연산자와 연결하는 것.
• 리 군oids의 기하적 구조를 통해 등가 문제와 편미분방정식의 적분을 연구하는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 부분적으로 정의된 복합과 항등원을 갖는 군oids의 구조를 이용해 리 군 이론을 일반화한다.
• 국소적 비틀림 개념을 적용하여 리 군oids를 기저 공간과 구조군 H의 곱으로 표현한다.
• 선형 군oids GL(E)의 k차 임의의 연장(jet prolongation)을 사용해 GL(E)_k를 GL(J_k E)의 부분군oids로 구성한다.
• 무한소 작용을 통해 관련된 리 대수류를 유도하며, 이를 k차 연장된 벡터장들에 의해 생성되는 O_M-선형 부분대수류로 식별한다.
• 제트 연장 사상 j_k δ를 사용해 제트 다발 위의 일계수 미분 연산자를 정의하고, 이를 리 대수류의 단면과 연결한다.
• 군oids의 제트 연장과 D(J_k E) 내에서 연장된 연산자들의 이미지 사이의 리 대수류 동형사상을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군oids 이론은 고전적 리 군 기법을 미분계수계를 분석하는 데 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 리 군oids에서의 연장은 리 군과 비교해 어떤 역할을 하는가? 왜 그것이 더 효과적인가?
• RQ3 선형 리 군oids의 k차 연장은 제트 다발의 기하학과 미분 연산자와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 군oids의 리 대수류는 미분방정식의 무한소 대칭을 어떻게 캐릭터라이즈하는가?
• RQ5 군oids 프레임워크를 통해 리 피규어군에 대해 조르당-홀더 분해를 체계적으로 적용하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 선형 리 군oids GL(E)의 k차 연장은 구조군 H ⊂ GL(m,R)을 갖는 GL(J_k E)의 국소적으로 비틀린 리 부분군oids를 이룬다.
• k차 연장 군oids의 리 대수류는 D(J_k E) 내에서 벡터장들의 k차 연장에 의해 생성되는 O_M-선형 부분대수류와 동형이다.
• 연장 사상 j_k δ는 제트 다발 위의 일계수 미분 연산자를 정의하며, j_k[δ,δ'] = [j_k δ, j_k δ'] 를 만족하고, σ(j_k δ) = θ ⊗ Id 이다.
• j_k Ξ ↦ j_k δ 할당은 군oids의 제트 연장과 연장된 연산자들의 이미지 사이의 리 대수류 동형사상을 제공한다.
• 군oids Π_k M 은 GL(J_k TM)의 리 부분군oids로 통합되며, 표준 작용 j_k φ(x) · j_k θ(x) = j_k(φ_* θ)(y) 를 갖는다.
• 자명한 군oids M × M 는 GL(J_k(M × R))에 통합되며, 이는 Π_k M 이 실수값 함수의 k차 제트 군oids임을 실현하며, 표준 작용 j_k φ(x) · j_k f(x) = j_k(f ∘ φ^{-1})(y) 를 갖는다.