[논문 리뷰] An inverse boundary value problem for certain anisotropic quasilinear elliptic equations

Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 33인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 비선형성의 비등방성이 있는 2차 비선형 타원형 미분방정식의 역경계값 문제에서 유일성을 확립한다. 선형 부분은 라플라스 연산자이고, 비선형 부분은 해의 기울기에서 해석적 함수의 발산이다. 제2차 선형화 기법과 가우시안 준모드 구성법을 사용하여, 비선형 항의 계수(최대 차수 N까지)가 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵을 통해 유일하게 결정됨을 증명한다. 이는 비선형 계수가 비등방적일 경우에도 성립하며, 이러한 방정식에 대한 역문제에서 핵심적인 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we prove uniqueness in the inverse boundary value problem for quasilinear elliptic equations whose linear part is the Laplacian and nonlinear part is the divergence of a function analytic in the gradient of the solution. The main novelty in terms of the result is that the coefficients of the nonlinearity are allowed to be "anisotropic". As in previous works, the proof reduces to an integral identity involving the tensor product of the gradients of 3 or more harmonic functions. Employing a construction method using Gaussian quasi-modes, we obtain a convenient family of harmonic functions to plug into the integral identity and establish our result.

연구 동기 및 목표

• 비등방성 비선형성을 가진 비선형 타원형 미분방정식의 역경계값 문제에서 유일성을 확립한다.
• 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵이 방정식의 비선형 항 계수를 유일하게 결정함을 보인다.
• 기존의 유일성 결과를 비등방적일 경우로 확장하여 이전 연구에서의 주요 제약 조건을 극복한다.
• 제2차 선형화에서 유도된 적분 항등식을 분석하기 위해 가우시안 준모드를 활용한 새로운 조화함수 구성법을 개발하고 적용한다.

제안 방법

• 작은 매개변수 ǫ의 거듭제곱으로 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵을 전개하는 제2차 선형화 접근법을 사용하여 선형항과 고차항을 추출한다.
• 선형화된 방정식의 해로서, 비선형 계수를 탐사하기 위해 특화된 가우시안 준모드를 사용하여 조화함수의 가족을 구성한다.
• 세 개 이상의 조화함수 기울기의 텐서곱과 비선형 계수를 포함하는 적분 항등식을 유도한다.
• 적분 항등식을 단일 계수 성분을 고립시킬 수 있는 형태로 줄이기 위해 편극화 기법을 적용한다.
• 매개변수 τ에 대한 점근 전개를 사용하여 적분 항등식의 주요 기여 항을 추출하며, 전개에서 특정 단항식 항에 집중한다.
• 구성된 함수의 대칭성과 직교성 성질을 활용하여 부가적인 항을 제거하고 관심 있는 계수를 고립시키며, 궁극적으로 C = 0임을 증명함으로써 계수의 유일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등방성 비선형 계수를 가진 비선형 타원형 미분방정식의 역경계값 문제에서, 비등방성일 경우에도 유일성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 비선형 계수가 공간 변수에 의존하고 인덱스의 순열에 대해 대칭적이지 않을 경우에도, 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵이 비선형 항의 계수를 유일하게 결정하는가?
• RQ3 적절한 조화함수를 구성함으로써 제2차 선형화 기법을 비등방성 비선형성에 적응시킬 수 있는가? 이는 비선형 계수의 전체 텐서 구조를 탐사할 수 있도록 한다.
• RQ4 편극화 기법을 통해 비선형 계수의 개별 성분을 추출할 수 있도록 하는 데 가우시안 준모드가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵의 점근 전개에서 주요 기여 항을 분석함으로써 비선형 계수 텐서의 유일성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 주요 결과는 두 비선형성 J^(1)과 J^(2)가 작은 경계 데이터에서 동일한 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵을 갖는다면, 모든 k = 2, ..., N에 대해 그 계수 J_k^(1)과 J_k^(2)가 반드시 일치함을 의미한다.
• 이 증명은 작은 매개변수 ǫ의 거듭제곱으로 경계 조건에서의 노멀 도메인 맵을 전개하는 제2차 선형화 기법에 기반하며, k차항 Λ_k를 추출할 수 있게 한다.
• 저자는 비선형 계수의 텐서 구조를 탐사하기 위해 가우시안 준모드를 사용한 특수한 조화함수의 가족을 구성한다.
• 이러한 조화함수 세 개의 곱의 점근 전개에서 주요 기여 항을 분석함으로써 저자는 계수 텐서 C를 고립시키고, 그것이 반드시 0이어야 함을 보여, 유일성을 입증한다.
• 이 방법은 비선형 계수의 텐서곱의 전체 대칭성을 활용하는 편극화 기법을 통해 비등방성 계수를 성공적으로 다룬다.
• 비선형 항이 기울기에서 해석적이며, 계수가 매끄럽고 compactly supported이고, 작은 경계 데이터에서 해가 존재하고 유일할 경우에 이 결과는 성립한다.