[논문 리뷰] An inverse problem for compact Finsler manifolds with the boundary distance map

Maarten V. de Hoop, Joonas Ilmavirta외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 12.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계 거리 지도가 경계를 가진 매끄럽고 컴act한 페인슬러 다양체의 위상적 및 미분적 구조를 유일하게 결정한다는 것을 입증한다. 논문은 페인슬러 함수가 경계 거리 지도로부터 재구성 가능한 최적의 섬유별 열린 부분집합을 특정하고, 페인슬러 함수가 섬유별 실해석적일 경우 유일한 결정이 가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that the boundary distance map of a smooth compact Finsler manifold with smooth boundary determines its topological and differential structures. We construct the optimal fiberwise open subset of its tangent bundle and show that the boundary distance map determines the Finsler function in this set but not in its exterior. If the Finsler function is fiberwise real analytic, it is determined uniquely. We also discuss the smoothness of the distance function between interior and boundary points.

연구 동기 및 목표

• 경계 거리 지도가 경계를 가진 컴팩트한 페인슬러 다양체의 위상적 및 미분적 구조를 재구성하는 데 충분한 정보를 포함하는지 여부를 규명하는 것.
• 페인슬러 함수가 경계 거리 지도로부터 재구성 가능한 탄성의 최대 부분집합을 특정하는 것.
• 페인슬러 함수가 경계 거리 지도에 의해 유일하게 결정되는 조건을 설정하는 것.
• 다양체의 내부 및 경계 점 사이의 거리 함수의 미세도 성질을 분석하는 것.

제안 방법

• 페인슬러 함수가 경계 거리 지도에 의해 결정되는 최적의 섬유별 열린 부분집합을 구성하는 것.
• 경계 거리 지도를 이용해 다양체의 기하학적 및 위상적 불변량을 유추하는 것.
• 섬유별 실해석성 가정을 적용하여 국소적 재구성을 전역적 유일성으로 확장하는 것.
• 역문제 기법을 사용하여 내부 점에서 경계 점으로의 거리 함수의 정칙성을 분석하는 것.
• 미분기하학적 및 역문제 방법을 활용하여 경계 측정치와 내부 페인슬러 구조를 연결하는 것.
• 페인슬러 함수가 특정된 최적의 섬유별 열린 부분집합 외부에서는 결정되지 않는다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 거리 지도는 경계를 가진 컴팩트한 페인슬러 다양체의 위상적 및 미분적 구조를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 페인슬러 함수가 경계 거리 지도로부터 재구성 가능한 탄성의 최대 부분집합은 무엇인가?
• RQ3 페인슬러 함수가 경계 거리 지도에 의해 유일하게 결정되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 페인슬러 다양체에서 내부 점에서 경계 점으로의 거리 함수는 얼마나 매끄러운가?
• RQ5 특정한 섬유별 열린 부분집합 외부에서 페인슬러 함수를 재구성하는 데 자연스러운 장애 요소가 존재하는가?

주요 결과

• 경계 거리 지도는 컴팩트한 페인슬러 다양체의 위상적 및 미분적 구조를 유일하게 결정한다.
• 페인슬러 함수가 경계 거리 지도에 의해 결정되는 최적의 섬유별 열린 부분집합이 특정된다.
• 이 최적의 섬유별 열린 부분집합 외부에서는 페인슬러 함수가 결정되지 않는다.
• 페인슬러 함수가 섬유별 실해석적이라면, 경계 거리 지도에 의해 유일하게 결정된다.
• 주어진 기하 조건 하에서 내부 점과 경계 점 사이의 거리 함수가 매끄럽다는 것이 입증된다.
• 최적의 섬유별 열린 부분집합의 구성은 경계 측정치로부터 가능한 재구성 범위의 정확한 한계를 제공한다.