[논문 리뷰] An inverse problem for the magnetic Schr\\"odinger equation in infinite cylindrical domains

Mourad Bellassoued, Yavar Kian외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 21.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 28인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 자기 슈뢰딩거 방정식의 무한한 3차원 실린더 영역 내에서 경계 조건의 디리클레-노이만(DN) 매핑을 이용하여 자기장과 전기 포텐셜의 유일하고 호일더 안정적인 결정을 확립한다. 저자들은 경계 측정치를 통해 자기장(게이지 등가성까지)과 전기 포텐셜이 유일하게 복원 가능하다는 것을 증명하며, 특히 자기장과 전기 포텐셜이 컴팩트 지원을 가지는 경우 유한한 관측 범위로도 복원이 가능하다.

ABSTRACT

We study the inverse problem of determining the magnetic field and the electric potential entering the Schr\\"odinger equation in an infinite 3D cylindrical domain, by Dirichlet-to-Neumann map. The cylindrical domain we consider is a closed waveguide in the sense that the cross section is a bounded domain of the plane. We prove that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map determines uniquely, and even H\\"older-stably, the magnetic field induced by the magnetic potential and the electric potential. Moreover, if the maximal strength of both the magnetic field and the electric potential, is attained in a fixed bounded subset of the domain, we extend the above results by taking finitely extended boundary observations of the solution, only.

연구 동기 및 목표

• 무한한 3차원 실린더 영역에서 자기 슈뢰딩거 방정식에 의해 지배되는 자기장과 전기 포텐셜을 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 디리클레-노이만(DN) 매핑을 통한 자기 포텐셜(게이지 등가성까지)과 전기 포텐셜의 결정에 있어서의 유일성과 안정성을 확립하는 것.
• 자기장과 전기 포텐셜이 컴팩트 지원을 가지는 경우로 결과를 확장하여, 유한한 관측 범위로도 복원이 가능하도록 하는 것.
• 제한된 관측 데이터가 있는 경우에도 경계 측정치를 이용해 자기장과 전기 포텐셜을 호일더 안정적으로 재구성하는 것.

제안 방법

• 복잡한 기하학적 옹도(CGO) 해를 사용하는 부크헤임-클리반노프 방법을 조합하여 역문제를 분석한다.
• 시간과 공간에서 진동하는 행동을 가지며, 실린더 기하학에 적합한 자기 슈뢰딩거 방정식의 특수한 해를 구성한다.
• 큰 매개변수 $\sigma$에 의존하는 가중 함수를 가진 카르레만 추정식을 사용하여 점점 줄어드는 오차 항을 통제한다.
• 소볼레프 포함과 보간 부등식을 적용하여 $L^\infty$ 노름을 DN 매핑 차이에 대한 함수로 표현한다.
• 푸리에 분석과 플랑카렐 정리를 사용하여 주파수 영역에서 전기 포텐셜의 $L^2$-노름을 추정한다.
• 최종 추정식에서 $\|\widehat{q}(\xi^\prime,x_3)\|$를 유도하고, 푸리에 변환의 감쇠를 통제하여 안정성 한계를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 실린더 영역 내에서 자기장과 전기 포텐셜은 디리클레-노이만 매핑을 통해 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 DN 매핑의 미세한 변화에 대해 자기 포텐셜과 전기 포텐셜의 복원이 안정적인가?
• RQ3 자기장과 전기 포텐셜이 컴팩트 지원을 가질 경우, 유한한 경계 관측치만으로도 역문제를 해결할 수 있는가?
• RQ4 자기장과 전기 포텐셜의 복원에 대해 최적의 안정성 추정치(예: 호일더 또는 리프시츠)는 무엇인가?
• RQ5 자기 포텐셜의 게이지 불변성은 역문제의 유일성과 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 자기장과 전기 포텐셜은 무한한 실린더 영역 내에서 디리클레-노이만 매핑에 의해 유일하게 결정된다.
• 복원은 호일더 안정성 존재: DN 매핑의 차이가 복원된 포텐셜의 오차를 호일더 지수로 통제한다.
• 자기장과 전기 포텐셜이 컴팩트 지원을 가질 경우, 유한한 경계 관측치만으로도 역문제를 해결할 수 있다.
• 안정성 추정치는 $\|q\|_{L^\infty_{x_3}(\mathbb{R},H^{-1}(\omega))} \leq C(\delta^{\mu_2} + \rho^{-1})$로 표현되며, 여기서 $\delta = \|\Lambda_{A_1,q_1} - \Lambda_{A_2,q_2}\|$, $\mu_2 > 0$이다.
• 자기 포텐셜은 게이지 등가성까지 복원되며, 소볼레프 포함과 보간을 통해 DN 매핑 차이에 의해 $L^\infty$ 노름이 유계화된다.
• 최종 안정성 추정치는 $\sigma$, $\delta$, $\rho$를 포함하는 다수의 오차 항을 균형 잡는 방식으로 유도되며, 지수 $\mu_2 \propto \mu_{1}/(41 - 48\mu)$를 가진 호일더 유형의 한계를 도출한다.