[논문 리뷰] An Isomorphism Between Moduli Spaces of Abelian Varieties

Ch. Birkenhake, Herbert Lange|ArXiv.org|2002. 04. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중치 $(d_1,\ldots,d_g)$와 $(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)$를 가진 극화된 아벨 다양체의 모듈리 공간 사이의 표준적 동형사상을, 아벨 다양체의 가족에 대한 쌍대성 구성법을 통해 수립한다. 이는 아벨 스킴 $\hat{A}$ 위에 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$를 만족하는 쌍대 극화 $\lambda^\delta$를 정의하고, 무카이의 푸리에 변환을 통해 유도된 극화가 쌍대 동형사상의 배수임을 보여, 핵심적인 모듈리 공간 동형사상이 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

In a previous paper we showed that for every polarization on an abelian variety there is a dual polarization on the dual abelian variety. In this note we extend this notion of duality to families of polarized abelian varieties. As a main consequence we obtain an involution on the set of moduli spaces of polarized abelian varieties of dimension $g$. In particular, the moduli spaces $\mathcal A_{(d_1,...,d_g)}$ and $\mathcal A_{(d_1,\frac{d_1d_g}{d_{g-1}},...,\frac{d_1d_g}{d_2},d_g)}$ are canonically isomorphic.

연구 동기 및 목표

• 기저 스킴 위의 가족으로서 극화의 쌍대성을 개별 아벨 다양체에서 일반화하는 것.
• 기저 스킴 $S$ 위의 쌍대 아벨 스킴 $\hat{A}/S$ 에서 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$를 만족하는 표준적 쌍대 극화 $\lambda^\delta$ 를 정의하는 것.
• 극화된 아벨 다양체의 유형 $(d_1,\ldots,d_g)$ 과 변환된 유형의 모듈리 함수자 간의 동형사상을 보여주는 것.
• 무카이의 푸리에 변환을 사용하여 $\hat{A}/S$ 위에 상대적으로 풍부한 선다발 $\hat{\mathcal{L}}$ 를 구성하고, 유도된 극화 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 가 쌍대성과 호환됨을 보장하는 것.
• 최종적으로 모듈리 공간 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 와 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 가 표준적으로 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• 이so겐시 $\lambda: A \to \hat{A}$ 의 역을 통해 $\hat{A} \to A$ 로 가는 쌍대 극화 $\lambda^D$ 를 정의하고, $\lambda^D \circ \lambda = e_A$ 와 $\lambda \circ \lambda^D = e_{\hat{A}}$ 를 만족시키는 것.
• 기저 스킴 $S$ 위의 아벨 다양체 $A/S$ 에서 상대적으로 풍부한 선다발 $\mathcal{L}$ 의 푸리에 변환 $F(\mathcal{L})$ 을 사용하여 $\hat{A}/S$ 위에 선다발 $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$ 을 구성하는 것.
• 기저 체인지 정리를 적용하여 $\mathcal{L}$ 이 인덱스 0의 WIT-층임을 보이고, 이로 인해 $F(\mathcal{L})$ 이 랭크 $d = h^0(\mathcal{L}_s)$ 인 벡터 번들의 성질을 가짐을 보장하는 것.
• 관계식 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$ 와 함께, $\phi_{\mathcal{L}}$ 가 분리 가능할 경우 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_{1} \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ 를 증명하는 것.
• 평탄한 기저 체인지와 프로젝션 공식을 사용하여, 국소적으로 자유인 층 $\mathcal{F}$ 에 대해 $F(\pi^* \mathcal{F} \otimes \mathcal{M}) = \hat{\pi}^* \mathcal{F} \otimes F(\mathcal{M})$ 를 유도하는 것.
• 유도된 극화 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 가 상대적으로 풍부하고 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$ 를 만족함을 보여, $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 가 $\hat{A}/S$ 의 극화임을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 스킴 위의 극화된 아벨 다양체의 가정에 대해, 모듈리 공간에 대한 치환 작용을 유도하는 표준적 쌍대성 작용이 존재하는가?
• RQ2 기저 스킴 $S$ 위의 쌍대 아벨 스킴 $\hat{A}/S$ 에서 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ 를 만족하는 쌍대 극화 $\lambda^\delta$ 가 $\lambda: A \to \hat{A}$ 에서 내재적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 모듈리 공간 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 와 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 는 표준적 동형사상에 의해 동형임을 증명할 수 있는가?
• RQ4 기저 스킴 $S$ 위의 아벨 다양체 $\hat{A}/S$ 에서의 극화 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 와 쌍대 이so겐시 $\phi_{\mathcal{L}}^D$ 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 푸리에 변환 구성법이 $\hat{A}/S$ 에서 $\phi_{\mathcal{L}}^D$ 의 배수인 극화를 유도하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 와 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 간에 표준적 동형사상이 존재한다.
• 쌍대 아벨 스킴 $\hat{A}/S$ 에서의 쌍대 극화 $\lambda^\delta$ 는 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ 를 만족하여, 모듈리 공간에서의 쌍대성이 치환 작용임을 보여준다.
• 유형 $(d_1,\ldots,d_g)$ 의 분리 가능한 극화 $\phi_{\mathcal{L}}$ 에 대해, 푸리에 변환으로 유도된 극화 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 는 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ 를 만족한다.
• 선다발 $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$ 는 $\hat{A}/S$ 에서 상대적으로 풍부하므로, $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 는 극화임을 보장한다.
• 관계식 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$ 는 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$ 를 유도하며, 이는 쌍대성의 정당성을 확인한다.
• 분리 가능한 극화의 경우 지수 $e = d_g$ 이고, $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ 는 정확히 분리 가능성 조건에서 성립한다.