[논문 리뷰] An Isotopic Perturbation Lemma Along Periodic Orbits

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$- diffeomorphism에 대해 Frank의 등방성 섭동 보조정리의 개선된 형태를 확립한다. 만약 주기 궤도를 따라 선형 코어큘레이션의 경로가 고정된 차원을 갖는 강한 안정/불안정 방향을 유지한다면, 해당 섭동은 대응하는 국소 안정 및 불안정 다변량을 유지할 수 있음을 보여준다. 핵심 기여는 $C^1$-섭동 하에서도 불변 다변량을 유지하는 경로 기반의 등방성 섭동 기법을 제공하는 것으로, $C^1$-일반 동역학에서 동형사슬의 구조를 제어할 수 있게 한다.

ABSTRACT

A well-known lemma by John Franks asserts that one obtains any perturbation of the derivative of a diffeomorphism along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation of the whole diffeomorphism on a small neighbourhood of the orbit. However, one does not control where the invariant manifolds of the orbit are, after perturbation. We show that if the perturbated derivative is obtained by an isotopy along which some strong stable/unstable manifolds of some dimensions exist, then the Franks perturbation can be done preserving the corresponding stable/unstable semi-local manifolds. This is a general perturbative tool in $C^1$-dynamics that has many consequences. We give simple examples of such consequences, for instance a generic dichotomy between dominated splitting and small stable/unstable angles inside homoclinic classes.

연구 동기 및 목표

• Frank의 원래 보조정리에서 $C^1$-섭동 이후에 불변 다변량을 제어할 수 없는 문제를 해결하기 위해.
• 주기 궤도를 따라 섭동하는 동안 국소 안정 및 불안정 다변량을 유지할 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 지배 분해가 없는 동형사슬 내에서 동형사슬 접촉점과 이odal 사이클을 체계적으로 생성하기 위한 도구를 제공하기 위해.
• 등방성 경로를 따라 선형 코어큘레이션의 전체 강한 다변량 플래그를 유지하는 섭동 기법을 일반화하기 위해.
• $C^1$-일반 동역학에의 응용을 가능하게 하며, 지배 분해와 작은 각도 사이의 이분법적 성질을 다루기 위해.

제안 방법

• 주기 궤도를 따라 선형 코어큘레이션의 등위를 사용하여, 고정된 차원의 강한 안정/불안정 방향이 경로 전반에 걸쳐 유지되도록 보장한다.
• 궤도를 따라 주어진 도함수 경로와 일치하는 $C^1$-섭동을 구성하며, 동시에 불변 다변량의 국소 구조를 유지한다.
• 허용 가능한 불변 다변량 플래그를 식별하고, 기본 영역의 링형 영역 내에서 섭동이 이를 유지하도록 보장한다.
• 핵심 기술 조건은 어떤 시간 $t_0$에서 $i$-강한 안정 고유값의 크기가 동일하다는 것이며, 이는 모든 $j \leq i$에 대해 $j$-강한 안정 다변량을 유지할 수 있게 한다.
• 섭동은 주기 궤도의 이웃 영역에 국한되며, 이 영역 외부에서는 원래의 diffeomorphism과 일치한다.
• 보존적 및 심플렉틱 설정으로의 확장도 가능하며, 고유 차원 1의 다변량에서는 기술적 수정이 필요하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 궤도를 따라 $C^1$-섭동이 강한 안정 및 불안정 다변량의 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 선형 코어큘레이션의 경로에 대해 어떤 조건이 불변 다변량을 섭동 중에도 유지할 수 있게 하는가?
• RQ3 지배 분해가 없는 동형사슬 내에서 체계적으로 동형사슬 접촉점이나 이odal 사이클을 생성할 수 있는가?
• RQ4 Frank의 보조정리를, 도함수의 등방성 경로를 통해 전체 강한 다변량 플래그를 유지하는 방식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 이 유지 성질이 $C^1$-일반 동역학에 미치는 영향은 무엇이며, 특히 지배 분해와 작은 안정/불안정 각도 사이의 이분법적 성질과의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 어떤 $t_0$에서 $i$-강한 안정 고유값의 크기가 동일할 경우, $i$-강한 안정 다변량의 링형 영역 내에서 모든 $j \leq i$에 대해 $j$-강한 안정 다변량이 유지된다.
• 섭동의 크기를 경로 $({\mathcal{A}}_t)$의 크기에 비례하여 임의로 작게 만들 수 있다.
• 섭동은 궤도를 유지하며, 주기 궤도의 작은 이웃 영역 외부에서는 원래의 diffeomorphism과 일치한다.
• 이 방법은 균일한 지배 분해가 존재하지 않는 동형사슬 내에서 동형사슬 접촉점을 생성하는 데에 유용하다.
• 결과적으로 동형사슬 내에서 지배 분해와 작은 안정/불안정 각도 사이의 일반적인 이분법적 성질이 도출된다.
• 기술은 보존적 및 심플렉틱 설정으로 확장되며, 고유 차원 1의 다변량은 국소 유지에 기술적 장애를 야기한다.