[논문 리뷰] An Itô Formula for rough partial differential equations and some applications

Antoine Hocquet, Torstein Nilssen|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 52인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 소벨 공간 기반의 통제 경로 공간을 사용하여 미분 거친 경로에 의해 구동되는 거친 포물형 PDE에 대한 새로운 프레임워크를 제안한다. $F \in C^2$인 Nemytskii 작용소 $F(u)$에 대한 이토 공식을 수립하고, 일반화된 모저 반복을 통한 국소 유계성을 증명하며, 기하학성과 강제성 조건 하에서 $L^p$-해에 대한 체인 룰을 유도함으로써, 유동 변환 기법 없이 존재성, 유일성 및 약한 최대원리의 성립을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We investigate existence, uniqueness and regularity for solutions of rough parabolic equations of the form $\partial _tu-A_tu-f=(\dot X_t(x) \cdot abla + \dot Y_t(x))u$ on $[0,T] imes\mathbb{R}^d.$ To do so, we introduce a concept of "differential rough driver", which comes with a counterpart of the usual controlled paths spaces in rough paths theory, built on the Sobolev spaces $W^{k,p}.$ We also define a natural notion of geometricity in this context, and show how it relates to a product formula for controlled paths. In the case of transport noise (i.e.\ when $Y=0$), we use this framework to prove an Itô Formula (in the sense of a chain rule) for Nemytskii operations of the form $u\mapsto F(u),$ where $F$ is $C^2$ and vanishes at the origin. Our method is based on energy estimates, and a generalization of the Moser Iteration argument to prove boundedness of a dense class of solutions of parabolic problems as above. In particular, we avoid the use of flow transformations and work directly at the level of the original equation. We also show the corresponding chain rule for $F(u)=|u|^p$ with $p\geq 2,$ but also when $Y eq 0$ and $p\geq 4.$ As an application of these results, we prove existence and uniqueness of a suitable class of $L^p$-solutions of parabolic equations with multiplicative noise. Another related development is the homogeneous Dirichlet boundary problem on a smooth domain, for which a weak maximum principle is shown under appropriate assumptions on the coefficients.

연구 동기 및 목표

• 유동 변환 기법을 피하고자 다중 거친 노이즈를 가진 확률적 PDE에서의 안정성과 직접적 분석의 부족을 해결한다.
• 소벨 공간 $W^{k,p}$ 내에서 미분 거친 운반자에 의해 구동되는 거친 포물형 방정식을 위한 기능적 해석적 프레임워크를 개발한다.
• 원점에서 0이 되는 $F \in C^2$인 경우에 대해 거친 PDE의 맥락에서 Nemytskii 작용소 $F(u)$에 대한 체인 룰(이토 공식)을 수립한다.
• 곱셈 노이즈를 가진 거친 포물형 방정식의 $L^p$-해에 대해 존재성, 유일성 및 약한 최대원리를 증명한다.
• 모저 반복을 일반화하여 거친 PDE에서 해의 $L^\infty$-노름을 제어함으로써, 밀도 있는 해의 클래스에 대한 유계성을 확보한다.

제안 방법

• 소벨 공간에 작용하는 연산자의 가족으로서 '미분 거친 운반자'의 개념을 도입하여, 거친 경로 이론을 PDE에 일반화한다.
• 소벨 공간 $W^{k,p}$ 내에서 통제 경로를 정의하고, 거친 포물형 방정식을 위한 새로운 클래스 $\mathcal{H}^{\alpha,p}_B$를 구축한다.
• 일반화된 부분적 적분 추론과 잔여항 추정을 사용하여 $\mathcal{H}^{\alpha,p}_B$ 내 통제 경로의 곱셈 공식을 수립한다.
• 에너지 추정과 일반화된 모저 반복 기법을 적용하여 $L^p$-설정에서 해의 국소 유계성을 증명한다.
• 에너지 방법과 쌍대성에 기반하여 직접적인 추정을 통해 원래 방정식에 대한 스트로크의 이론을 피한 이토 공식을 유도한다.
• 기하학성과 강제성 조건 하에서 거친 운반자의 특성에 기반하여 동차 딜리클레 문제에 대한 약한 최대원리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소벨 공간 내에서 미분 거친 경로에 의해 구동되는 거친 포물형 PDE에 대한 적절한 해의 정의는 무엇인가?
• RQ2 유동 변환 기법을 사용하지 않고, $F \in C^2$인 Nemytskii 작용소 $F(u)$에 대한 체인 룰(이토 공식)을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 곱셈 노이즈를 가진 거친 포물형 방정식의 $L^p$-해에 대해 국소 유계성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 기하학성은 통제 경로 프레임워크 내에서 곱셈 공식과 브라켓의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 기하학적이지 않은 운반자일 경우 표준 에너지 추정이 실패하는 이유는 브라켓 $[B]_{st} = B^2_{st} - \frac{1}{2}B^1_{st} \circ B^1_{st}$ 가 가지는 역할 때문인가?

주요 결과

• 원점에서 0이 되는 $F \in C^2$인 경우에 대해, 이동 노이즈($Y = 0$)를 가진 거친 포물형 방정식의 해에 대해 에너지 추정과 모저 반복을 통해 새로운 이토 공식을 수립하였다.
• 모든 $p \geq 2$에 대해 $F(u) = |u|^p$인 경우 이동 노이즈 상황에서는 체인 룰이 성립하고, $Y \neq 0$일 경우 $p \geq 4$에서 성립함을 보여, 이토 공식의 적용 범위를 확장하였다.
• 일반화된 모저 반복 기법을 통해 밀도 있는 $L^p$-해의 국소 유계성을 증명하였으며, 부드러운 근사화 없이도 $L^\infty$-유계성을 확보하였다.
• 미분 거친 운반자의 기하학성과 $H^{-1}$-강제성 조건 하에서, 거친 포물형 방정식의 $L^p$-해에 대해 존재성과 유일성을 확립하였다.
• 적절한 계수 조건과 운반자의 기하학성 조건 하에서, 매끄러운 영역에서 동차 딜리클레 문제에 대해 약한 최대원리를 증명하였다.
• 기하학적 운반자일 경우 브라켓 $[B]_{st}$, 즉 $B^2_{st} - \frac{1}{2}B^1_{st} \circ B^1_{st}$ 는 $D^1$에 값을 가지며, 그 비영인 성질은 연산자 대수 내 비가환성을 반영한다.