[논문 리뷰] An iteration procedure for a two-term Machin-like formula for pi with small Lehmer's measure

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 03.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레이머 측도가 약 0.245319로 기록적으로 낮은 두 항의 매킨 유사 공식을 위한 새로운 반복 절차를 제안한다. 유리수 근사와 복소수를 사용하지 않는 재귀 관계를 활용함으로써, 수렴 속도가 매우 빠르며, 한 항을 추가할 때마다 π의 정밀도가 16자리 추가된다. 이는 무리수나 복소수를 사용하지 않는 순수한 유리수 산술을 통해 매우 효율적인 계산 방법을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we present a two-term Machin-like formula for pi \[\fracπ{4} = 2^{k - 1}\arctan\left(\frac{1}{u_1} ight) + \arctan\left(\frac{1}{u_2} ight)\] with small Lehmer's measure $e \approx 0.245319$ and describe iteration procedure for simplified determination of the required rational number $u_2$ at $k = 27$ and $u_1 = 85445659$. With these results we obtained a formula that has no irrational numbers involved in computation and provides $16$ digits of pi at each increment by one of the summation terms. This is the smallest Lehmer's measure ever reported for the Machin-like formulas for pi.

연구 동기 및 목표

• π에 대한 매우 효율적인 매킨 유사 공식을 레이머 측도가 최소가 되도록 개발하기.
• 두 항 공식에서 필요한 유리수 매개변수 u₁과 u₂의 계산을 단순화하기.
• π의 반복 평가 과정에서 무리수나 복소수를 사용하지 않기.
• 수렴 속도를 높여 각 합산 항 증가 시마다 π의 정밀도가 16자리 추가되도록 하기.
• 오직 유리수 산술만을 사용하는 실용적이고 확장 가능한 고정밀도 π 계산 알고리즘 제공하기.

제안 방법

• 이 방법은 π/4 = 2^{k-1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂)의 항등식에서 유도된 재귀 관계를 사용하며, u₁과 u₂는 반복적으로 결정된다.
• 아크탄젠트 급수 전개를 계산하기 위해 복소수를 사용하지 않는 재귀 관계를 αₘ, βₘ, γₘ, θₘ 계수에 적용한다.
• 공식은 π = 8 Σ (1/(2m−1)) [2^{k−1} αₘ/(αₘ²+βₘ²) + γₘ/(γₘ²+θₘ²)] 형태로 표현되어 유리수만을 사용하는 계산이 가능하다.
• 매개변수 u₂는 (u₁+i)/(u₁−i)의 거듭제곱을 포함하는 닫힌 형태의 표현식을 통해 계산되며, 이후 유리수로 단순화된다.
• 반복 과정은 u₁이 유리수임을 보장하고, u₂는 정확하게 유도되어 부동소수점 근사치를 피한다.
• 이 방법은 Mathematica를 사용하여 재귀 관계와 고정밀 산술을 활용해 구현되어 수렴성을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 알려진 값보다 훨씬 작아진 레이머 측도를 가진 두 항의 매킨 유사 공식을 π에 대해 구성할 수 있는가?
• RQ2 무리수나 복소수 산술을 피하고 오직 유리수만을 사용하여 이러한 공식을 계산할 수 있는가?
• RQ3 수렴 속도를 높여 항 증가 시마다 π의 정밀도가 16자리 추가되도록 할 수 있는가?
• RQ4 아크탄젠트 급수 계수를 효율적이고 정확하게 계산하기 위해 어떤 반복 재귀 관계를 사용할 수 있는가?
• RQ5 수치적 불안정성을 피하면서 큰 k에 대해 매개변수 u₂를 체계적으로 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 저자는 π에 대한 매킨 유사 공식 중 기록적으로 가장 낮은 레이머 측도인 약 0.245319를 달성하였다.
• 아크탄젠트 급수의 수렴 속도가 매우 빨라, 합산 항이 증가할수록 π의 정밀도가 매번 16자리 추가된다.
• 모든 계산은 오직 유리수만을 사용하며, 반복 평가 과정에서 무리수나 복소수를 사용하지 않는다.
• αₘ, βₘ, γₘ, θₘ에 대한 재귀 관계는 안정적이며, 오직 유리수 산술만을 사용하여 π의 고정밀도 계산이 가능하다.
• k = 27이고 u₁ = 85445659일 때, 유리수로 표현되는 u₂를 도출할 수 있었으며, 이는 π의 고정밀도 계산에 최소한의 계산 오버헤드를 제공한다.
• 수치적 시험 결과, 식 (22)의 급수 전개가 오일러 급수 (23)보다 더 빠르게 수렴하며, 단 10개의 항만으로도 오차 항이 4.54 × 10⁻¹³⁴에 도달함을 확인하였다.