[논문 리뷰] An iterative algorithm for evaluating approximations to the optimal exercise boundary for a nonlinear Black-Scholes equation

Daniel Ševčovič|ArXiv.org|2007. 10. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 기초 자산 가격과 옵션의 감마(이阶 도함수)에 따라 변동성을 결정하는 비선형 블랙-쇼스 모델에서 미국 옵션의 조기 행사 경계를 근사하기 위한 반복 수치 알고리즘을 제안한다. 자유 경계 문제를 이동 경계를 고정된 영역으로 매핑하는 변환을 통해 비선형 편미분방정식과 비선형 대수 제약 조건을 가진 고정 도메인 비선형 포아르비크 PDE로 변환함으로써, 이 방법은 연산자 분할 기법을 사용하여 경계를 반복적으로 해석한다. 결과적으로, 거래비용과 위험 회피 성향과 같은 비선형성은 경계의 이동을 크게 유도하며, RAPM 및 바르레-소너 모델에 대해 각각 $ O(R^{1/3}) $ 및 $ O(a^{2/3}) $ 수준의 수렴 속도를 보여준다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to analyze and compute the early exercise boundary for a class of nonlinear Black--Scholes equations with a nonlinear volatility which can be a function of the second derivative of the option price itself. A motivation for studying the nonlinear Black--Scholes equation with a nonlinear volatility arises from option pricing models taking into account e.g. nontrivial transaction costs, investor's preferences, feedback and illiquid markets effects and risk from a volatile (unprotected) portfolio. We present a new method how to transform the free boundary problem for the early exercise boundary position into a solution of a time depending nonlinear parabolic equation defined on a fixed domain. We furthermore propose an iterative numerical scheme that can be used to find an approximation of the free boundary. We present results of numerical approximation of the early exercise boundary for various types of nonlinear Black--Scholes equations and we discuss dependence of the free boundary on various model parameters.

연구 동기 및 목표

• 옵션 가격의 이阶 도함수에 따라 변동성이 결정되는 비선형 블랙-쇼스 방정식에서 미국 옵션 가격 정책의 조기 행사 경계를 근사하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 거래비용, 피드백 효과, 위험 회피성과 같은 마켓 제약 조건으로 인해 발생하는 비선형 PDE에서 자유 경계 문제의 과제를 다루는 것.
• 이동 경계 문제를 고정 도메인 문제로 변환하여 연산자 분할 기반의 계산 효율성이 높은 반복적 해법을 제공하는 것.
• 위험 프리미엄, 거래비용, 위험 회피성과 같은 모델 파라미터가 조기 행사 경계에 미치는 민감도를 정량화하는 것.

제안 방법

• 이동 경계를 고정된 좌표로 매핑하는 변환을 도입함으로써 자유 경계 문제를 고정된 공간 도메인에서의 비선형 포아르비크 PDE로 재구성한다.
• 경계 위치와 PDE 해를 연결하는 비선형 대수 제약 조건을 도입하여 조기 행사 조건과의 일致성을 확보한다.
• PDE와 대수 제약 조건을 분리하기 위해 연산자 분할 기법을 적용하여 시스템의 반복적 해법을 가능하게 한다.
• 반복적 절차는 주어진 경계 추정치로 포아르비크 PDE를 풀고, 비선형 제약 조건을 이용해 경계 위치를 갱신하는 방식으로 번갈아가며 수행된다.
• 이 알고리즘은 릿지 조정 가격 모델(RAPM)과 바르레-소너 모델을 포함한 다양한 비선형 모델에 대해 수치적으로 구현되었다.
• 비선형 해와 선형(블랙-쇼스) 경계 해의 차이에 대한 $ L^p $-노름을 기반으로 수렴성을 평가하였으며, 실험적 수렴 차수를 계산하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 옵션의 감마와 기타 모델 파라미터에 따라 비선형적으로 변동성이 결정될 경우, 미국 옵션의 조기 행사 경계는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 거래비용 또는 위험 회피 성향 파라미터가 0에 수렴함에 따라 자유 경계가 고전적 블랙-쇼스 경계로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ3 변동성 함수의 비선형적 구조가 위험 회피성 또는 피드백 효과가 있는 모델에서 조기 행사 경계의 볼록성 특성에 영향을 미치는가?
• RQ4 비국소적 변동성을 가진 비선형 블랙-쇼스 방정식에서 반복적 연산자 분할 기법이 자유 경계를 효율적이고 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ5 위험 프리미엄, 거래비용, 위험 회피성과 같은 다양한 모델 파라미터가 조기 행사 경계의 위치와 형태에 미치는 영향은 어떠한가?

주요 결과

• 수치 결과는 바르레-소너 모델에서 위험 회피 성향이 높아질수록 조기 행사 경계가 증가함을 확인하였으며, 이는 $ a \to 0 $ 일 때 $ L^2 $ 및 $ L^\infty $ 노름 기준으로 $ O(a^{2/3}) $ 비례로 선형 블랙-쇼스 경계에서의 이격 정도를 보였다.
• RAPM 모델의 경우, 비선형 경계와 선형 경계 사이의 거리가 $ R $ (위험 프리미엄 계수)에 대해 $ O(R^{1/3}) $ 비례함을 확인하였으며, 이는 경계의 비선형적이지만 측정 가능한 이동을 의미한다.
• 반복적 알고리즘은 안정적인 수렴을 보이며, 거래비용 및 피드백 효과가 포함된 다양한 비선형 변동성 모델에서 경계 행동을 효과적으로 포착하는 데 성공하였다.
• 수치적 증거는 바르레-소너 모델에서 큰 위험 회피 성향에 대해 조기 행사 경계가 볼록성을 상실할 수 있음을 시사하며, 일정한 변동성 하에서의 고전적 볼록성 결과에 도전한다.
• 이 방법은 자유 경계 문제를 비선형 제약 조건이 있는 고정 도메인 PDE로 성공적으로 변환하여, 연산자 분할 기반의 강력하고 효율적인 수치적 해법을 가능하게 하였다.
• 두 모델 모두 실험적 수렴 차수는 이론적 추측과 매우 밀접하게 일치하며, 수치 실험을 통해 유도된 점근적 스케일링 법칙의 타당성을 뒷받침한다.