[논문 리뷰] An L^1 ergodic theorem with values in a nonpositively curved space via a canonical barycenter map

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한한 첫 번째 순간을 가진 확률측도에 대한 캐논컬 바리센터 맵을 도입하여, 비양의 곡률을 가진 매트릭스 공간—특히 분리 가능 Buseman 공간 또는 바나흐 공간—가치 함수에 대한 L¹ 에르고딕 정리 수립한다. 주요 결과는 애매한 군 작용 하에서 궤도 평균의 바리센터가 점별로 및 L¹에서 T-불변 함수로 수렴함을 보여주며, 메트릭 측도론적 기법을 통해 고전적 Birkhoff 에르고딕 이론을 비유클리드 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We extend a recent result of Tim Austin (see arXiv:0905.0515) to the L^1 setting, thus providing a general version of the Birkhoff ergodic theorem for functions taking values in nonpositively curved spaces. In this setting, the notion of a Birkhoff sum is replaced by that of a barycenter along the orbit. The construction of an appropriate barycenter map is the core of this note. In particular, we solve a problem raised by K.-T. Sturm showing that local compactness for the underlying space is superfluous for the construction (this extends a result of A. Es-Sahib and H. Heinich). As a byproduct of our construction, we prove a fixed point theorem for actions by isometries on a Buseman space.

연구 동기 및 목표

• 비양의 곡률 제약 조건이 있는 기하 공간에서 값이 벡터 공간이 아닌 경우에도 고전적 L¹ 에르고딕 정리를 비유클리드 설정으로 확장하는 것.
• 분리 가능 Buseman 공간에서 유한한 첫 번째 순간을 가진 측도에 대한 바리센터 맵을 구성하여 이전의 확률적 접근에서 요구하는 국소 콪팩트성 조건의 한계를 극복하는 것.
• 애매한 군 작용 하에서 궤도 평균의 바리센터가 점별 및 L¹ 수렴성을 보장함으로써 고전적 Birkhoff 정리를 일반화하는 것.
• 새로운 바리센터 구성법을 사용하여 엄격한 볼록성 조건을 가정하지 않고도 Buseman 공간 위의 등장사상의 컴팩트 군이 고정점을 가짐을 증명하는 것.

제안 방법

• 분리 가능 Buseman 공간 $ X $ 에서 유한한 첫 번째 순간을 가진 측도에 대한 캐논컬 바리센터 맵 $ bar^* : P^1(X) \to X $ 를 도입하며, 이는 거리의 적분을 최소화하는 점으로 정의된다.
• 바리센터 맵 $ bar^* $ 가 1-Wasserstein 거리에 대해 1-Lipschitz임을 증명하여 안정성 및 수렴 분석이 가능하게 한다.
• 애매한 군의 온도드 Følner 수열을 따라 $ \varphi(T^g \omega) $ 를 평균화하여 생성된 경험 측도에 바리센터 맵을 적용한다.
• 바리센터 맵의 수축성 덕분에 바리센터의 수렴을 실수 값 함수의 수렴으로 환원하여, Lindenstrauss의 점별 에르고딕 정리가 적용 가능하게 한다.
• 간단한 함수로의 근사와 Lindenstrauss 정리로부터 유도된 최대 부등식을 사용하여 진동을 제어하고 거의 확실히 수렴함을 증명한다.
• 삼각 부등식과 근사 기법을 사용하여 바리센터 맵의 수열이 $ L^1 $-노름에서 코시 수열임을 보여 L¹ 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수가 $ L^1 $ 에 속할 경우, 값이 유클리드 공간이 아닌 비양의 곡률을 가진 메트릭 공간에 취하는 함수에 대해 고전적 Birkhoff 에르고딕 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 Buseman 공간에서 $ P^1(X) $, 즉 유한한 첫 번째 순간을 가진 측도의 공간에 대해, 1-Wasserstein 거리에 대해 1-Lipschitz인 캐논컬 바리센터 맵이 존재하는가?
• RQ3 애매한 군 작용 하에서 궤도 평균의 바리센터가 이 기하 설정에서 거의 확실히 및 $ L^1 $ 수렴하여 $ T $-불변 함수로 수렴하는가?
• RQ4 새로운 바리센터 구성법을 사용하여 엄격한 볼록성 조건을 가정하지 않고도 Buseman 공간 위의 등장사상의 컴팩트 군이 고정점을 가짐을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 측도의 유한한 첫 번째 순간을 가진 $ P^1(X) $ 에서의 캐논컬 바리센터 맵 $ bar^* $ 는 1-Wasserstein 거리에 대해 1-Lipschitz이며, 유한한 첫 번째 순간을 가진 측도에 대한 안정적인 기하 평균을 제공한다.
• 온도드 Følner 수열을 따라 평균화된 경험 측도의 바리센터는 거의 확실히 점별로 수렴하며, 이는 $ L^1 $ 에서 $ T $-불변 함수로 일반화된 고전적 Birkhoff 정리이다.
• 이 수렴성은 분리 가능 바나흐 공간과 분리 가능 Buseman 공간 모두에서 성립하며, $ \mathbb{R} $ 의 경우 바리센터는 표준 산술 평균으로 축소된다.
• 이전 연구에서 요구한 유한한 국소 콱팩트성 조건을 피함으로써, Sturm(2007, 예제 6.5)에서 제기된 문제를 해결한다.
• 새로운 바리센터 구성법을 사용하여, $ bar^* $ 맵과 그 불변성 덕분에 엄격한 볼록성 조건 없이도 Buseman 공간 위의 등장사상의 컴팩트 군이 고정점을 가짐을 증명한다.
• $ L^1 $-수렴성은 단순 함수로의 근사와 1-Wasserstein 거리에 대한 최대 부등식을 활용한 코시 기준에 기반하여 확립된다.