[논문 리뷰] An LP with Integrality Gap 1+epsilon for Multidimensional Knapsack

David Pritchard|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 18.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 고정된 k와 ϵ>0에 대해 적어도 1+ϵ 이하의 정수성 간격을 가지는 다항 크기의 선형계획법(LP) 근사화를 k차원 배낭문제에 제시한다. 이는 필터링(고가치 또는 고약속 항목 추측)과 분리프로그래밍을 조합하여 분수해의 거의 최적의 반올림을 가능하게 하며, 패킹 케이스에서는 비용에 종속되지 않는 LP 공식화로 확장된다.

ABSTRACT

In this note we study packing or covering integer programs with at most k constraints, which are also known as k-dimensional knapsack problems. For any integer k > 0 and real epsilon > 0, we observe there is a polynomial-sized LP for the k-dimensional knapsack problem with integrality gap at most 1+epsilon. The variables may be unbounded or have arbitrary upper bounds. In the packing case, we can also remove the dependence of the LP on the cost-function, yielding a polyhedral approximation of the integer hull. This generalizes a recent result of Bienstock on the classical knapsack problem.

연구 동기 및 목표

• 고정된 k와 ϵ>0에 대해 작은, 유한한 정수성 간격을 가지는 다항 크기의 LP 근사화를 k차원 배낭문제에 개발하는 것.
• Bienstock의 1차원 배낭문제 결과를 고차원으로 일반화하여 정수성 간격 1+ϵ을 달성하는 것.
• 패킹 케이스에서 목적함수 c에 의존하지 않는 LP 근사화를 구성하여 정수 헐의 다각체 근사화를 가능하게 하는 것.
• 유사한 비용 독립적 LP와 작은 정수성 간격을 갖는 공식화가 커버링 케이스에 대해도 구성 가능한지 탐색하는 것.
• 분수해의 거의 최적의 반올림을 가능하게 하는 필터링과 분리프로그래밍을 활용한 이론적 프레임워크 제공

제안 방법

• 최적해에서 가장 수익성이 높은 항목(또는 각 제약조건 대비 계수가 높은 항목)을 추측하기 위해 필터링 기법을 사용하며, 이때 γ = k/ϵ로 설정한다.
• 각 추측 g에 대해, 추측된 항목들이 포함되도록 수정된 경계 d^g와 우변 b^g를 갖는 부분문제를 정의한다.
• 모든 이러한 부분문제 근사화를 하나의 확장된 LP로 조합하여 추가 변수와 제약조건을 포함한 분리프로그래밍을 구성한다.
• 확장된 LP가 다항 크기를 가지도록 보장: 비용 종속 케이스에서는 n^{O(k/ϵ)}개의 변수와 kn^{O(k/ϵ)}개의 제약조건을 갖는다.
• 비용 독립 케이스에서는 수익 기반 필터링을 제약 조건 기반 필터링으로 대체한다—k차원 전역에서 각 제약조건 대비 계수가 가장 큰 γ개의 항목을 추측한다.
• 반올림 기법을 사용: 패킹의 경우는 분수해를 내림하고, 커버링의 경우는 올림하며, 각 제약조건에서 불가능성을 제거하기 위해 소규모 비용의 항목 집합을 제거한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 고정된 k와 ϵ>0에 대해, 정수성 간격 1+ϵ을 가지는 다항 크기의 LP 근사화를 k차원 배낭문제에 구성할 수 있는가?
• RQ2 해당 LP는 패킹 케이스에서 목적함수 c에 독립적으로 만들 수 있으며, 정수 헐의 다각체 근사화를 가능하게 하는가?
• RQ3 비용 독립적 LP 구성 기법을 k차원 배낭문제의 커버링 케이스로 확장할 수 있는가?
• RQ4 c에 대한 의존성 제거 시 LP 크기와 정수성 간격 사이의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ5 필터링과 분리프로그래밍 접근법을 사용하여 고차원에서 (1+ϵ)-근사해를 갖는 압축된 LP 공식화를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 고정된 k와 ϵ>0에 대해, 정수성 간격이 1+ϵ 이하인 다항 크기의 확장된 LP 근사화가 k차원 배낭문제에 존재한다.
• 목적함수 c를 사용한 경우, LP의 크기는 n^{O(k/ϵ)}개의 변수와 kn^{O(k/ϵ)}개의 제약조건을 갖는다.
• 패킹 케이스에서는 정수성 간격 1+ϵ을 가지는 비용 독립적 LP 근사화를 구성할 수 있으며, 이는 크기를 kn^{O(k²/ϵ)}개의 변수와 제약조건으로 증가시키는 대가를 치르게 된다.
• 이 구성은 각 제약조건 대비 계수가 가장 큰 γ = k²/ϵ개의 항목을 추측하는 데 의존하며, 이는 제한된 비용 손실로 반올림을 가능하게 한다.
• LP에서 분수해를 내림(패킹의 경우) 또는 올림(커버링의 경우)하면, 최적해의 (1−ϵ) 또는 (1+ϵ) 요인 이내의 정수해를 얻을 수 있다.
• 결과는 Bienstock의 1차원 배낭문제 결과를 고차원으로 일반화하며, 패킹 케이스에서는 정수 헐의 다각체 근사화를 제공한다.