[논문 리뷰] An MsFEM type approach for perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 02.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 21인용 수 64

한 줄 요약

이 논문은 구멍이 뚫린 영역에서 타원형 문제를 위한 다중스케일 유한요소법(MsFEM)을 제안한다. Crouzeix-Raviart 유형의 비연속 유한요소에 버블 함수를 추가하여, 임의의 구멍 분포에 대해 강건하고 최적 수렴 속도를 달성한다. 수치 실험에서 기존 MsFEM 변형보다 뛰어난 정확도를 보이며, 특히 버블 함수의 추가로 인해 정확도가 향상된다.

ABSTRACT

We follow up on our previous work [C. Le Bris, F. Legoll and A. Lozinski, Chinese Annals of Mathematics 2013] where we have studied a multiscale finite element (MsFEM) type method in the vein of the classical Crouzeix-Raviart finite element method that is specifically adapted for highly oscillatory elliptic problems. We adapt the approach to address here a multiscale problem on a perforated domain. An additional ingredient of our approach is the enrichment of the multiscale finite element space using bubble functions. We first establish a theoretical error estimate. We next show that, on the problem we consider, the approach we propose outperforms all dedicated existing variants of MsFEM we are aware of.

연구 동기 및 목표

• 구멍이 뚫린 영역에서 고주기 계수를 가진 타원형 문제에 대해 강건한 다중스케일 유한요소법을 개발한다.
• 표준 메시 메시 기법을 복잡하게 만드는 임의의 비주기적 또는 무작위 구멍 분포 문제를 해결한다.
• 유한요소 공간에 버블 함수를 통합하여 기존 MsFEM 변형보다 정확도를 향상시킨다.
• 구멍 기하구조에 대한 일반적인 가정 하에 제안된 방법의 이론적 오차 추정을 수립한다.
• 수치 실험을 통해 강화된 MsFEM이 구멍이 뚫린 영역에 특화된 기존 모든 알려진 MsFEM 변형보다 뛰어나다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 방법은 요소 변형의 약한 연속성 조건을 요소 변의 평균 유량 조건을 통해 강제하는 Crouzeix-Raviart 유형의 비연속 유한요소를 사용한다.
• 다중스케일 기저 함수는 각 거시 메시 요소에서 국소 네이비에 문제를 풀어 근처의 구멍 영향을 포함시켜 구성된다.
• 근처의 오차 제어를 향상시키기 위해 유한요소 공간에 버블 함수를 추가하여 근사값을 향상시킨다.
• 경계층 효과를 다루기 위해 동질화된 해와 컷오프 함수를 포함하는 보정 항을 도입한다.
• 가중 에너지 추정과 파oincaré 유형 부등식을 사용하여 H1 노름에서 수렴 속도를 분석한다.
• 최소한의 정규성 가정 하에 이론적 오차 한계를 유도하여 H1 오차의 최적 수렴 속도가 O(ε^{3/2})임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 비주기적 구멍 분포를 가진 영역에서 고주기 타원형 문제에 대해 정확하고 안정적인 다중스케일 유한요소법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 버블 함수의 추가가 구멍이 뚫린 영역에서 MsFEM의 수렴성과 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 MsFEM 변형은 기존에 구멍이 뚫린 영역에 특화된 MsFEM 접근법보다 더 뛰어난 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 이 방법의 H1 노름에서 이론적 수렴 속도는 무엇이며, 구멍 크기와 분포에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 구멍이 거시 메시 변과 겹쳐질 경우, 특수한 메시 정렬이 필요 없이도 성능이 유지되는가?

주요 결과

• 제안된 버블 함수 강화 MsFEM는 이론적 분석을 통해 H1 노름에서 최적 수렴 속도 O(ε^{3/2})를 달성한다.
• 광범위한 수치 실험에서 모든 알려진 구멍이 뚫린 영역용 MsFEM 변형보다 뛰어난 정확도를 보였다.
• 버블 함수의 사용은 복잡하거나 비정규적인 구멍 패턴이 있는 영역에서 오차를 크게 감소시켰다.
• 구멍이 거시 메시 변과 겹쳐져도 성능이 유지되어 특수한 메시 기법이 필요 없었다.
• 최소한의 정규성 가정 하에 이론적 오차 한계를 확립하였으며, 오차는 f와 그 도함수를 포함하는 노름에 의해 제어되었다.
• 이 방법은 주기적 및 비주기적 구멍 배열 모두에 적용 가능하여 무작위 또는 이질적인 미세 구조에 적합하다.