[논문 리뷰] An $O(\log OPT)$-approximation for covering and packing minor models of ${ heta}_r$

Dimitris Chatzidimitriou, Jean‐Florent Raymond외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 θr 그래프(두 정점이 r개의 평행 간선으로 연결된 그래프)의 미니어처 모델을 포함하는 정점 및 간선 포장 및 커버링 문제에 대해 O(log OPT)-근사 알고리즘을 제시한다. 돌출 분해와 트리-분할 폭에 기반한 알고리즘 기법을 사용하여, θr를 미니어처로 포함하는 그래프의 클래스가 정점 및 간선 에르되시–포샤 성질을 O(k log k)의 갭과 함께 가짐을 증명하고, 일반적인 r에 대해 이러한 문제의 간선 변형에 대한 최초의 근사 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

Given two graphs $G$ and $H$, we define $ extsf{v-cover}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{e-cover}_{H}(G)$) as the minimum number of vertices (resp. edges) whose removal from $G$ produces a graph without any minor isomorphic to ${H}$. Also $ extsf{v-pack}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{v-pack}_{H}(G)$) is the maximum number of vertex- (resp. edge-) disjoint subgraphs of $G$ that contain a minor isomaorphic to $H$. We denote by $ heta_r$ the graph with two vertices and $r$ parallel edges between them. When $H= heta_r$, the parameters $ extsf{v-cover}_{H}$, $ extsf{e-cover}_{H}$, $ extsf{v-pack}_{H}$, and $ extsf{v-pack}_{H}$ are NP-hard to compute (for sufficiently big values of $r$). Drawing upon combinatorial results in [Minors in graphs of large $ heta_r$-girth, Chatzidimitriou et al., arXiv:1510.03041], we give an algorithmic proof that if $ extsf{v-pack}_{ heta_r}(G)\leq k$, then $ extsf{v-cover}_{ heta_r}(G) = O(k\log k)$, and similarly for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$ and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$. In other words, the class of graphs containing ${ heta_r}$ as a minor has the vertex/edge Erd\H{o}s-P\'osa property, for every positive integer $r$. Using the algorithmic machinery of our proofs, we introduce a unified approach for the design of an $O(\log { m OPT})$-approximation algorithm for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, $ extsf{v-cover}_{ heta_r}$, $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$ that runs in $O(n\cdot \log(n)\cdot m)$ steps. Also, we derive several new Erd\H{o}s-P\'osa-type results from the techniques that we introduce.

연구 동기 및 목표

• θr의 미니어처 모델에 대한 정점 및 간선 포장 및 커버링 문제에 대해 효율적인 근사 알고리즘을 설계하기.
• θr의 미니어처 모델에 대해 정점 및 간선 에르되시–포샤 성질을 O(k log k)의 최적 갭과 함께 확립하기.
• 트리-분할 폭과 돌출 분해에 기반한 알고리즘 기법을 트리-분할 폭이 유계인 그래프 클래스로 확장하기.
• θr,r′의 미니어처 모델로의 에르되시–포샤 성질 결과를 일반화하고, 간선 변형에 대한 새로운 근사 알고리즘 제공하기.
• 이 방법의 일반화 가능성을 다른 평면 그래프 및 그들의 미니어처 모델로 탐색하기.

제안 방법

• 돌출 분해를 이용해 문제를 트리-분할 폭이 유계인 그래프로 환원하기.
• 큰 트리-분할 폭을 가진 그래프는 k-벽, k-팬, k-경로, 또는 k-스타를 미니어처로 포함한다는 구조적 결과 적용하기.
• 정리 5를 활용해 e-coverΘr,r′(G)가 작은 그래프의 트리-분할 폭을 유계로 제한하고, 간선 분리된 Θr,r′-하나의 분할 존재성과 연결하기.
• 정리 3을 활용해 갭 함수 f2(h, tk)를 통해 간선 커버 수와 간선 포장 수를 연결하기.
• v-packθr, v-coverθr, e-packθr, e-coverθr를 근사화하는 통합된 O(n · log n · m) 시간 알고리즘 설계하기.
• θr,r′의 미니어처 모델에 대해 간선-에르되시–포샤 성질을 증명하고, 이전에 θr에 국한된 결과를 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 r ≥ 1에 대해 θr의 미니어처 모델에 대한 정점 및 간선 포장 및 커버링 문제에 대해 O(log OPT)-근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 θr의 미니어처 모델의 경우 정점 및 간선 에르되시–포샤 성질에 대해 가능한 가장 날카로운 갭 함수는 무엇인가?
• RQ3 θr,r′의 미니어처 모델에 대해 간선-에르되시–포샤 성질이 성립하는가? 그리고 이는 근사 알고리즘에 활용될 수 있는가?
• RQ4 트리-분할 폭과 돌출 분해에 기반한 알고리즘 프레임워크는 θr를 초월한 다른 평면 그래프로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 임의의 고정된 평면 그래프의 미니어처 모델에 대해 정점 및 간선 포장 및 커버링 문제에 대해 다항로그 근사가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 θr를 미니어처로 포함하는 그래프의 클래스가 정점 및 간선 에르되시–포샤 성질을 O(k log k)의 갭과 함께 가짐을 입증하며, 이는 알려진 하한과 일치한다.
• v-packθr, v-coverθr, e-packθr, e-coverθr에 대해 O(log OPT)-근사 알고리즘을 설계하였으며, 이는 O(n · log n · m) 시간에 실행된다.
• 모든 r, r′ ∈ ℕ 이며 r′ ≤ r 인 경우에 대해 θr,r′의 미니어처 모델에 대해 간선-에르되시–포샤 성질을 확장하였으며, 이는 이전에 알려지지 않은 결과이다.
• 트리-분할 폭이 유계인 그래프에서는 정점 및 간선 에르되시–포샤 성질이 선형 갭을 가짐을 보였으며, 일반적인 상한보다 향상된 결과이다.
• 돌출 분해와 트리-분할 폭에 기반한 알고리즘 장치가 θr를 초월해 일반화 가능함을 입증하였으며, 이는 다른 평면 그래프 클래스로의 광범위한 적용 가능성을 시사한다.