[논문 리뷰] An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Frédéric Marbach|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 16.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 제어 u(t)를 갖는 [0,1]에서의 점성 버거 방정식에 대해 작고 작은 시간 내의 국소 영 제어 가능성을 위한 두 번째 차수의 장애를 규명한다. 비선형 시스템의 이차 전개를 통해, 제어의 약한 H⁻⁵/⁴ 노름이 관여하는 구조적 장벽을 규명하였으며, 무한한 정보 전파 속도가 존재하더라도, 어떤 작은 제어로도 시스템을 영으로 이끌 수 없음을 증명하였다.

ABSTRACT

In this work, we are interested in the small time local null controllability for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on the line segment $[0,1]$, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the classical Lie bracket necessary condition $[f_1,[f_1,f_0]]$ introduced by Sussmann fails to conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a second order obstruction to small time local null controllability. This obstruction holds although the information propagation speed is infinite for the Burgers equation. Our obstruction involves the weak $H^{-5/4}$ norm of the control $u$. The proof requires the careful derivation of an integral kernel operator and the estimation of residues by means of weakly singular integral operator estimates.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 제어 u(t)를 갖는 점성 버거 방정식에 대해 작고 작은 시간 내의 국소 영 제어 가능성 여부를 조사하는 것.
• 버거 방정식의 무한한 전파 속도가 비선형성에도 불구하고 작고 작은 시간 제어 가능성을 가능하게 하는지 여부를 확인하는 것.
• 고전적 리 괄호 조건에서 포착되지 않는 두 번째 차수의 장애를 규명하고 특성화하는 것.
• 제어의 약한 H⁻⁵/⁴ 노름이 장애 메커니즘에서 핵심적인 역할을 한다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 제로 평형점 주변에서 비선형 시스템의 이차 전개를 적용하여 두 번째 차수의 항을 드러내는 것.
• 철저한 점근적 분석을 통해 이차 근사에서 적분 커널 연산자를 유도하는 것.
• 약한 특이 적분 연산자 추정을 통해 잔여항과 특이 적분을 추정하는 것.
• 트리벨-리조르킨 공간에서 분자의 및 원자적 분해를 사용하여 연산자 노름을 제어하는 것.
• [0,1]×[0,1]에서 정의된 국소 커널을 R×R로 확장하면서 약한 특이성과 하올더 연속성 특성을 유지하는 것.
• 형식 (s,δ)의 약한 특이 적분 연산자 이론을 적용하여 H⁻⁵/⁴에서의 제어 영향력을 제한하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에만 의존하는 제어 u(t)를 갖는 점성 버거 방정식은 작고 작은 시간 내에 국소 영 제어 가능성이 있는가?
• RQ2 고전적 리 괄호 조건 [f₁,[f₁,f₀]]를 이 설정에서 사용하여 제어 가능성을 도출할 수 있는가?
• RQ3 제어의 약한 H⁻⁵/⁴ 노름이 작고 작은 시간 내 제어 가능성을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 무한한 전파 속도가 존재하더라도, 영 제어 가능성을 방해하는 두 번째 차수의 장애가 존재하는가?
• RQ5 트리벨-리조르킨 같은 함수 공간에서 적분 커널 추정을 통해 제어의 영향력을 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• L² 노름이 작은 어떤 L² 제어로도, H¹₀에서 임의로 작은 초기 자료를 영으로 이끌 수 없음을 증명함으로써, 시스템은 작고 작은 시간 내에 국소 영 제어 가능하지 않음을 입증하였다.
• 고전적 리 괄호 조건 [f₁,[f₁,f₀]]에서 포착되지 않는 두 번째 차수의 장애가 존재한다.
• 이 장애는 제어의 약한 H⁻⁵/⁴ 노름에 의해 특성화되며, 제어 가능성을 위해 이 노름이 0에서 벗어나야 한다.
• 이론적 증명은 트리벨-리조르킨 공간에서 분자의 분해를 통해 연산자 작용을 추정하는 적분 커널 연산자의 구성에 기반한다.
• 저자들은 [0,1]×[0,1]에서 정의된 국소 커널을 R×R로 확장하면서 약한 특이성과 하올더 연속성을 유지하였으며, 이로 인해 전역적 연산자 노름 추정이 가능해졌다.
• 결과적으로, 무한한 신호 전파 속도가 존재하더라도, 비선형성과 두 번째 차수 효과는 작고 작은 시간 내 제어 가능성을 방해할 수 있음을 보여주었다.