[논문 리뷰] An obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics

Julius Ross, Richard Thomas|ArXiv.org|2004. 12. 29.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 28인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 부분다중집합을 기반으로 한 기울기 준안정성 조건을 정의하여, 극화된 복소다양체에서 일정 곡률 켈러(cscK) 계량의 존재에 대한 새로운 차단 조건을 제시한다. 만약 다각형이 cscK 계량을 가질 수 있다면, 그 기울기는 임의의 부분다중집합의 기울기보다 크거나 같아야 한다는 것을 증명한다. 이 차단 조건은 델 페초 표면, 프로젝티브 범주, 그리고 블로우업에 적용되며, 자동형군이 자명한 경우에도 cscK 계량이 존재하지 않는 켈러 클래스의 명시적 예를 제공한다.

ABSTRACT

We prove that polarised manifolds that admit a constant scalar curvature Kähler (cscK) metric satisfy a condition we call slope semistability. That is, we define the slope $μ$ for a projective manifold and for each of its subschemes, and show that if $X$ is cscK then $μ(Z)\leμ(X)$ for all subschemes $Z$. This gives many examples of manifolds with Kähler classes which do not admit cscK metrics, such as del Pezzo surfaces and projective bundles. If $\PP(E) o B$ is a projective bundle which admits a cscK metric in a rational Kähler class with sufficiently small fibres, then $E$ is a slope semistable bundle (and $B$ is a slope semistable polarised manifold). The same is true for \emph{all} rational Kähler classes if the base $B$ is a curve. We also show that the slope inequality holds automatically for smooth curves, canonically polarised and Calabi Yau manifolds, and manifolds with $c_1(X)<0$ and $L$ close to the canonical polarisation.

연구 동기 및 목표

• 극화된 복소다양체에서 일정 곡률 켈러(cscK) 계량의 존재에 대한 새로운 대수적 차단 조건을 수립하는 것.
• 다양체의 부분다중집합에 대한 기울기 불변량을 정의하고, cscK 계량이 기울기 준안정성을 암시함을 보이는 것.
• 특히 델 페초 표면과 프로젝티브 범주에서 자동형군이 자명한 경우에도 cscK 계량이 존재하지 않는 켈러 클래스의 명시적 예를 제공하는 것.
• 기하학적 및 대수적 방법을 통해 K-안정성과 cscK 계량 간의 관계를 확장하는 것.

제안 방법

• 다양체 (X,L)의 부분다중집합 Z에 대해, Z에 대해 Z의 블로우업에서의 교차 이론을 사용하여 기울기 μ(Z)를 정의한다.
• L이 Z 근처에서의 긍정성 정도를 측정하는 Seshadri 상수 ε(Z,L)와 관련된 매개수 c에 따라 수정된 기울기 μ_c(O_Z, L)를 도입한다.
• 블로우업에서의 점근적 Riemann-Roch 전개와 교차 공식을 사용하여 기울기 불안정성에 대한 기준을 유도한다.
• 기울기 부등식 μ_c(O_Z, L) < μ(X,L)를 적용하여 K-준안정성, 즉 cscK 계량의 존재에 대한 장애를 탐지한다.
• 프로젝티브 범주, P²의 블로우업, 델 페초 표면 등의 구체적 사례를 분석하여 장애 조건이 실제로 어떻게 작용하는지 보여준다.
• 표준 및 반표준 극화에 대해 알려진 켈러-아인슈타인 계량과 안정성 결과를 활용하여 특수한 경우에서 기울기 조건이 만족됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 극화된 다각형이 cscK 계량을 가질 경우, 부분다중집합을 통한 기울기 준안정성 조건을 만족하는가?
• RQ2 기울기 준안정성은 캘러비-퓨타키 불변량이 0인 켈러 클래스에서 cscK 계량의 존재를 방해하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 프로젝티브 범주 P(E) → B에 대해, E와 B에 어떤 조건이 성립할 경우 기울기 준안정성이 cscK 계량의 존재를 암시하는가?
• RQ4 자동형군이 자명한 표면에서 cscK 계량이 존재하지 않는 켈러 클래스의 명시적 예가 존재하는가? 그리고 기울기 준안정성은 이를 탐지할 수 있는가?
• RQ5 기울기 준안정성은 K-안정성 또는 켈러-아인슈타인 계량의 존재와 같은 기존의 장애 조건을 복원하거나 확장하는가?

주요 결과

• 논문은 다각형 (X,L)이 cscK 계량을 가질 경우, 모든 부분다중집합 Z에 대해 μ(Z) ≤ μ(X)를 만족해야 한다는 기울기 준안정성이 성립함을 증명한다.
• 프로젝티브 범주 P(E) → B에 대해, 유리 켈러 클래스에서 충분히 작은 섬유를 가진 cscK 계량이 존재한다면, E는 기울기 준안정이어야 한다; B가 곡선이라면 모든 유리 클래스에서 이 성립한다.
• 매끄러운 곡선, 표준 극화된 다각형, 칼라비-양다양체, c₁(X) < 0 이고 L이 표준 다각형에 가까운 다각형에서는 기울기 부등식이 자동으로 성립한다.
• 자기동형군이 자명한 경우에도 cscK 계량이 존재하지 않는 명시적 예를 구성하였으며, 예를 들어 특정 극화 조건에서 ≥4개의 점을 P²에 블로우업한 경우가 포함된다.
• 점에서의 블로우업은 예외적 분할이 크기 때문에 기울기 불안정하며, 이러한 경우에 장애 조건이 나타난다.
• 델 페초 표면에서의 -2 곡선은 특정 극화 조건에서 다각형을 기울기 불안정하게 만들며, 구체적인 장애 조건의 예를 제공한다.