[논문 리뷰] An Optimal Control Theory for the Traveling Salesman Problem and Its Variants

I. Michael Ross, Ronald J. Proulx외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 07.

Transportation and Mobility Innovations참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 연속 시간 궤적에 대한 기능적 표현을 통해 정점과 간선을 모델링함으로써 TSP 및 그 변종에 대한 새로운 최적 제어 프레임워크를 제안한다. 이는 운동 제한, 금지 구역, 시간 창과 같은 동적 제약 조건을 자연스럽게 통합할 수 있게 하며, 궤적의 연속성으로 인해 이산적 부분순환 제거 제약 조건이 필요 없도록 한다. 수치적 결과는 비볼록이고 동적인 제약 조건을 가진 복잡한 실제 경로 문제에 대해 이 프레임워크의 계산 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

We show that the traveling salesman problem (TSP) and its many variants may be modeled as functional optimization problems over a graph. In this formulation, all vertices and arcs of the graph are functionals; i.e., a mapping from a space of measurable functions to the field of real numbers. Many variants of the TSP, such as those with neighborhoods, with forbidden neighborhoods, with time-windows and with profits, can all be framed under this construct. In sharp contrast to their discrete-optimization counterparts, the modeling constructs presented in this paper represent a fundamentally new domain of analysis and computation for TSPs and their variants. Beyond its apparent mathematical unification of a class of problems in graph theory, the main advantage of the new approach is that it facilitates the modeling of certain application-specific problems in their home space of measurable functions. Consequently, certain elements of economic system theory such as dynamical models and continuous-time cost/profit functionals can be directly incorporated in the new optimization problem formulation. Furthermore, subtour elimination constraints, prevalent in discrete optimization formulations, are naturally enforced through continuity requirements. The price for the new modeling framework is nonsmooth functionals. Although a number of theoretical issues remain open in the proposed mathematical framework, we demonstrate the computational viability of the new modeling constructs over a sample set of problems to illustrate the rapid production of end-to-end TSP solutions to extensively-constrained practical problems.

연구 동기 및 목표

• 이산 최적화 공식화를 넘어서 연속 시간 및 기능 최적화 프레임워크를 개발하여 TSP 및 그 변종을 다루는 것.
• 이심점이 아닌 도시(예: 이웃 지역, 금지 지역, 시간 창 등) 간의 거리를 정의하는 데 있어 근본적인 과제를 해결하는 것.
• 이웃 지역, 금지 영역, 시간 창, 수익이 포함된 TSP 변종 등 다양한 TSP 변종을 하나의 연속 시간 최적 제어 공식화에 통합하는 것.
• 차량 운동학 및 연속 시간 비용/수익 기능을 그 자연스러운 수학적 공간에서 직접 모델링할 수 있도록 하는 것.
• 수치 사례 연구를 통해 이 새로운 프레임워크를 사용하여 매우 제약이 까다로운 TSP 문제를 해결할 수 있는 계산 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 정점과 간선을 측정 가능한 함수에서 실수로 사상하는 기능적 표현을 갖는 그래프 위에서 TSP를 기능 최적화 문제로 모델링하는 것.
• 도시를 집합(예: 이웃 지역)으로 표현하고, 예를 들어 $ d(A,B) = \min_{x\in A, y\in B} \|x - y\|_2 $ 와 같은 최소 거리 기능을 통해 도시 간 거리를 정의함으로써 입구/출구 지점 의존성을 반영하는 것.
• 위치와 속도를 상태 변수로, 가속도를 제어 입력으로 사용하는 이중 적분기 모델을 활용하여 TSP를 최적 제어 문제로 공식화하는 것.
• 궤적의 매끄러움을 통해 순환 경로의 연속성을 강제함으로써, 명시적 조합 제약 조건 없이도 부분순환 위반을 자연스럽게 제거하는 것.
• $ \ell_2 $ 또는 $ \ell_\infty $ 속도 및 가속도의 경계를 제어 제약 조건으로 통합하여 현실적인 차량 동역학을 모델링하는 것.
• 해결된 비연속 최적 제어 문제를 수치적 방법으로 풀며, 그 결과로 도시와 금지 구역을 관통하는 연속적이고 곡선 형태의 순환 경로를 시각화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비점 도시(예: 이웃 지역) 간의 거리를 입구 및 출구 지점과의 관계를 고려하여 정의할 수 있는 방법은 무엇인가? 이는 순환 경로에서 분리된 세그먼트를 피하는 데 기여하는가?
• RQ2 속도 및 가속도 제한과 같은 동적 제약 조건을 실제 차량 동역학을 반영하기 위해 TSP 공식화에 자연스럽게 통합할 수 있는가?
• RQ3 금지 구역과 비볼록 허용 영역은 TSP 변종의 최적 순환 순서와 경로 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 연속 시간 최적 제어 이론을 통해 TSP 공식화에서 이산적 부분순환 제거 제약 조건이 필요 없어질 수 있는가?
• RQ5 운동 제약 조건의 변화(예: $ \ell_2 $ 대비 $ \ell_\infty $)는 최적 순환 순서와 경로 곡률에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 금지된 이웃 지역과 운동 제한을 고려한 연속적이고 곡선 형태의 순환 경로를 성공적으로 생성하여, 분리된 세그먼트를 연결하기 위한 후처리가 필요 없음을 입증한다.
• $ \ell_2 $ 제약 조건이 적용된 문제( fastCEMTSPFN-2 )는 $ \ell_\infty $ 제약 조건 버전 대비 더 매끄럽고 현실적인 회전을 보였으며, 제어 노름 선택이 경로 기하학에 미치는 영향을 입증한다.
• $ \ell_\infty $ 및 $ \ell_2 $ 공식화 간에 도시 방문 순서가 크게 달라졌으며, 이는 운동 제약 조건이 라우팅 결정에 비트리비얼하게 영향을 미칠 수 있음을 시사한다.
• 여러 개의 비볼록 금지 영역을 추가함으로써 최적 순환 순서가 극적으로 변화하였으며, 이는 프레임워크가 복잡한 공간 제약 조건에 민감함을 보여준다.
• 12개의 이웃 지역, 겹치는 금지 구역, 비볼록 영역을 포함한 TSP 변종에 대해 계산 가능하게 종단 간 해를 성공적으로 도출하였다.
• 이 프레임워크는 운동 제약 조건의 미세한 변화(예: $ \ell_2 $ 대비 $ \ell_\infty $)가 더 효율적인 라우팅 솔루션으로 이어질 수 있음을 입증하였으며, 이는 체계적 최적화에서 전략적 이점을 제공한다.