[논문 리뷰] An Optimal Product-State Approximation for 2-Local Quantum Hamiltonians with Positive Terms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 삼중 상태에서의 양자 최대 컷(QMC) 문제에 대해 제품 상태를 사용한 고전적 1/2-근사 알고리즘을 제시하며, 이것이 조건 없이 최적임을 증명한다. 양자 라서르 히에라르키의 두 번째 수준에서 유도된 새로운 비선형 얽힘의 단독성 부등식을 통해, 얽힌 상태가 존재하더라도 더 나은 근사가 가능하지 않음을 입증하고, 일반적인 양의 2-로컬 하미르토니안으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We resolve the approximability of the maximum energy of the Quantum Max Cut (QMC) problem using product states. A classical 0.498-approximation, using a basic semidefinite programming relaxation, is known for QMC, paralleling the celebrated 0.878-approximation for classical Max Cut. For Max Cut, improving the 0.878-approximation is Unique-Games-hard (UG-hard), and one might expect that improving the 0.498-approximation is UG-hard for QMC. In contrast, we give a classical 1/2-approximation for QMC that is unconditionally optimal, since simple examples exhibit a gap of 1/2 between the energies of an optimal product state and general quantum state. Our result relies on a new nonlinear monogamy of entanglement inequality on a triangle that is derived from the second level of the quantum Lasserre hierarchy. This inequality also applies to the quantum Heisenberg model, and our results generalize to instances of Max 2-Local Hamiltonian where each term is positive and has no 1-local parts. Finally, we give further evidence that product states are essential for approximations of 2-Local Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 양의 항을 가진 2-로컬 양자 하미르토니안의 최대 에너지의 근사 가능성에 대해 제품 상태를 사용하여 해결한다.
• 제품 상태를 통한 양자 최대 컷에 대한 1/2-근사가, 조건 없이 최적임을 입증한다. 이는 반면에, 준위형 프로그래밍을 통한 0.498-근사가 존재하더라도 그렇다.
• 양자 라서르 히에라르키의 두 번째 수준을 이용하여 삼각형에서의 새로운 비선형 얽힘의 단독성 부등식을 유도한다.
• 각 항이 양이며 1-로컬 성분을 포함하지 않는 모든 Max 2-로컬 하미르토니안 인스턴스로 결과를 일반화한다.
• 제품 상태가 2-로컬 하미르토니안을 근사하는 데 필수적임을 입증한다. 이는 얽힘의 존재 속에서도 마찬가지로 성립한다.

제안 방법

• 양자 라서르 히에라르키의 두 번째 수준을 분석하여 삼각형에서의 비선형 얽힘의 단독성 부등식을 유도한다.
• 준위형 프로그래밍의 이중성 원리를 사용하여, 한 변의 값이 -√3/2 이하일 경우, 인접한 변의 값은 반드시 양수여야 한다는 것을 증명한다.
• SDP의 명시적 이중 해를 구성하여 변 값에 대한 -√3/2 이하의 하한을 증명함으로써 핵심 부등식을 확립한다.
• 유도된 부등식을 적용하여, 한 변의 값이 높은 경우(v_ij > (1+√3)/3 ≈ 0.911)에는 인접한 변의 값이 낮아져야 한다(v_ik < 1/3)는 것을 보인다.
• 이 부등식을 사용하여 제품 상태가 QMC에 대해 1/2-근사 이하의 성능을 달성할 수 없음을 증명하고, 이 bound 가 정확히 타이트함을 입증한다.
• 유사한 단독성 부등식이 이러한 인스턴스에 적용됨을 보여 이 결과를 모든 양의 2-로컬 하미르토니안으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제품 상태를 통한 양자 최대 컷에 대한 1/2-근사가 조건 없이 최적인가?
• RQ2 양자 라서르 히에라르키의 두 번째 수준에서 비선형 얽힘의 단독성 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 1/2-근사 bound 가 QMC 이외의 모든 양의 2-로컬 하미르토니안에 대해서도 성립하는가?
• RQ4 에너지 근사의 관점에서 제품 상태와 일반 양자 상태 사이의 격차를 정량화할 수 있는가?
• RQ5 제품 상태를 사용하여 QMC에 대해 0.498-근사를 초월할 수 있는가? 만약 불가능하다면 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 제품 상태를 사용한 양자 최대 컷에 대한 고전적 1/2-근사 알고리즘은 조건 없이 최적임이 입증된다. 최적의 제품 상태 에너지가 어떤 양자 상태가 달성할 수 있는 최대 에너지의 정확히 반값이 되는 인스턴스가 존재하기 때문이다.
• 논문은 양자 라서르 히에라르키의 두 번째 수준에서 도출된 새로운 비선형 얽힘의 단독성 부등식을 유도하며, 이는 최적성 증명의 핵심 요소이다.
• 이 부등식은 삼각형의 한 변의 값이 -√3/2 이하일 경우, 그에 인접한 변의 값이 반드시 양수여야 한다는 것을 의미하며, 이는 1/2-근사 bound 를 증명하는 데 사용된다.
• 1/2-근사 bound 는 정확히 타이트하다: 최적의 제품 상태 에너지가 최적의 얽힌 상태 에너지의 정확히 반값이 되는 명시적 예가 존재한다.
• 이 결과는 1-로컬 항이 없는 모든 양의 2-로컬 하미르토니안에 대해 일반화되며, 이 넓은 범주에서도 1/2-근사가 최적임을 보여준다.
• 이 작업은 제품 상태가 2-로컬 하미르토니안을 근사하는 데 필수적임을 강력한 증거로 제시한다. 고급 SDP 히에라르키를 사용하더라도 제품 상태로는 더 나은 근사가 불가능하다.