[논문 리뷰] An optimal result for global classical and bounded solutions in a two-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with sensitivity

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 텐서 값 감도와 포화를 고려한 두 차원 Keller-Segel-Navier-Stokes 시스템에 대해 최초로 최적의 전역 고전적 및 유계 해 결과를 확립한다. $\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$를 포함하는 새로운 에너지 함수를 도입함으로써, 일반적인 미세한 유계 영역에서 모든 $\alpha > 0$에 대해 전역 존재성과 유계성을 증명하였으며, 이는 이전에 요구된 볼록성 조건을 제거하고 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This paper deals with a boundary-value problem for a coupled chemotaxis-Navier-Stokes system involving tensor-valued sensitivity with saturation $$\left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn- abla\cdot(nS(x,n,c) abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-c+n,\quad x\in Ω, t>0,\\ u_t+κ(u \cdot abla)u+ abla P=Δu+n abla ϕ,\quad x\in Ω, t>0,\\ abla\cdot u=0,\quad x\in Ω, t>0, \end{array} ight.$$ which describes chemotaxis-fluid interaction in cases when the evolution of the chemoattractant is essentially dominated by production through cells, where $κ\in \mathbb{R},ϕ\in W^{2,\infty}(Ω)$ and $S$ is a given function with values in $\mathbb{R}^{2 imes2}$ which fulfills $$|S(x,n,c)| \leq C_S (1 + n)^{-α}$$ with some $C _S > 0$ and $α\geq 0.$ If $α>0$ and $Ω\subseteq \mathbb{R}^2$ is a {\bf bounded} domain with smooth boundary, then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(KSNF)$ possesses a global classical solution which is bounded on $Ω imes(0,\infty)$. This extends a recent result by Wang-Winkler-Xiang (Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. XVIII, (2018), 2036--2145) which asserts global existence of bounded solutions under the constraint $Ω\subseteq \mathbb{R}^2$ is a bounded {\bf convex domain} with smooth boundary. Moreover, we shall improve the result of Wang-Xiang (J. Diff. Eqns., 259(2015), 7578--7609), who proved the possibility of global and bounded, in the case that ${\bfκ\equiv0}$ and $α>0$. In comparison to the result for the corresponding fluid-free system, the {\bf optimal condition} on the parameter $α$ for both {\bf global existence} and {\bf boundedness} are obtained.

연구 동기 및 목표

• 텐서 값 감도를 갖는 두 차원 Keller-Segel-Navier-Stokes 시스템에 대한 고전적 해의 전역 존재성과 유계성을 확립하는 것.
• 이전 연구에서 요구된 영역의 볼록성 조건을 제거하여 결과를 일반적인 미세한 유계 영역으로 확장하는 것.
• 전역 유계 해에 대한 최적의 임계 지수 $\alpha > 0$를 규명하여 유체가 없는 경우의 임계 지수와 일치시키는 것.
• 세포 밀도와 화학유인물 농도 기울기 간의 상호작용을 캡처하는 새로운 에너지 유사 함수를 개발하는 것.

제안 방법

• 새로운 에너지 함수 $\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$를 도입하여 세포 밀도와 화학유인물 기울기의 감쇠를 캡처한다.
• 감도 함수 $S(x,n,c)$가 $|S| \leq C_S(1+n)^{-\alpha}$를 만족하는 $\varepsilon$-의존적 절단을 포함하는 정규화된 근사 시스템을 사용한다.
• 에너지 함수에서 유도된 사전 추정치를 활용하여 성장도를 통제하고 $L^p$ 및 소볼레프 노름에서 균일 유계성을 확보한다.
• 포물선 Schauder 이론과 스토크스 시스템에 대한 고전적 $L^p$ 추정치를 적용하여 약한 해를 고전적 해로 승격시킨다.
• $\varepsilon_j \searrow 0$를 이용한 극한 절차를 통해 정규화된 해에서 원래 시스템의 고전적 해로의 전환을 수행한다.
• 콤���트성과 점근 수렴 정리에 의해 $u_\varepsilon$ 및 $\nabla c_\varepsilon$의 강한 수렴을 확보하여 극한이 고전적 의미에서 시스템을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 값 감도를 갖는 2차원 Keller-Segel-Navier-Stokes 시스템에서 전역 고전적 및 유계 해를 위한 감도 감쇠 지수 $\alpha$에 대한 최적 조건은 무엇인가?
• RQ2 전역 존재성과 유계성 결과는 볼록 영역을 초월하여 일반적인 미세한 유계 영역으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 세포 밀도와 화학유인물 기울기 간의 상호작용을 제어하고 폭발을 방지할 수 있는 적절한 에너지 함수가 존재하는가?
• RQ4 유체 대류의 존재는 유체가 없는 Keller-Segel 모델에 비해 임계 지수 $\alpha_*$에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $\alpha > 0$에 대해, 시스템은 $\Omega \times (0,\infty)$에서 균일하게 유계인 유일한 전역 고전적 해를 갖는다. 비볼록적인 미세한 유계 영역에서도 성립한다.
• Wang-Winkler-Xiang (2018)의 결과를 개선하여, 볼록성 조건을 제거하고 일반적인 미세한 유계 영역으로 전역 유계성을 확장하였다.
• 새로운 에너지 함수 $\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$는 균일 추정치 유도와 유계성 확보에 핵심적인 역할을 하였다.
• 유체가 없는 경우의 임계 지수 $\alpha_* = 1 - \frac{2}{N}$가 2차원 Navier-Stokes 연립 시스템에서도 최적의 임계 지수로 복원되었다.
• 해 $(n,c,u)$는 고전적 해이며, 어떤 $\theta \in (0,1)$에 대해 $n, c, u \in C^{2+\theta,1+\theta/2}_{\text{loc}}(\bar{\Omega} \times (0,\infty))$임을 보였다. 이는 매끄러움을 보장한다.
• 압력 $P$는 $C^{1,0}(\bar{\Omega} \times (0,\infty))$에 존재하여 고전적 해의 구조를 완성한다.